Let Phi be a field of characteristic p neq 0. A polynomial with coefficients in Phi is called a p-polynomial if it has the form x^p^m+alpha1 x^p^m-1+alpha2 x^p^m-1+cdots+alpham x. Show that a polynomial (with leading coefficient 1 ) is a p-polynomial if and only if its roots form a subgroup of the additive group of the splitting field and all the roots have the same multiplicity p^e. Show that the roots of the displayed p polynomial are all simple if and only if alpham neq 0.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre polinômios em um corpo Φ com característica $ p \neq 0 $. O objetivo é mostrar duas coisas:
  1. Primeiro, que um polinômio monico (com coeficiente líder igual a 1) é um $ p $-polinômio se e somente se suas raízes formam um subgrupo do grupo aditivo do campo de decomposição e todas as raízes têm a mesma multiplicidade $ p^{e} $.
  2. Segundo, que as raízes do $ p $-polinômio dado são todas simples (ou seja, têm multiplicidade 1) se e somente se $ \alpha_{m} \neq 0 $.
Para isso, vamos usar conceitos de teoria de polinômios, grupos abelianos e multiplicidade de raízes.

Passo 2

Entendendo o que é um $ p $-polinômio:
Um $ p $-polinômio tem a forma:
p
Aqui, $ p $ é a característica do corpo Φ, e $ m $ é um inteiro positivo. Esse tipo de polinômio tem coeficientes que são potências de $ x $ elevadas a potências de $ p $.

Passo 3

Primeira parte do problema:
Queremos mostrar que um polinômio monico é um $ p $-polinômio se e somente se suas raízes formam um subgrupo do grupo aditivo do campo de decomposição e todas têm a mesma multiplicidade $ p^{e} $.
Subgrupos no grupo aditivo:
No contexto de corpos, o grupo aditivo é o conjunto dos elementos do corpo com a operação de adição. Um subgrupo deste grupo é um conjunto de elementos que é fechado sob adição e inversos, ou seja, se $ a $ e $ b $ estão no subgrupo, então $ a + b $ e $ -a $ também estão no subgrupo.
Multiplicidade das raízes:
A multiplicidade de uma raiz de um polinômio é o número de vezes que essa raiz aparece como solução da equação polinomial.

Passo 4

Direção: Se o polinômio é um $ p $-polinômio, então as raízes formam um subgrupo e têm multiplicidade $ p^{e} $:
  1. Forma do polinômio: Como o polinômio é um $ p $-polinômio, todas as potências de $ x $ são potências de $ p $. Isso implica que se $ \alpha $ é raiz, então para qualquer $ c \in \Phi $, $ c \alpha $ também deve ser raiz, garantindo a estrutura de subgrupo.
  2. Multiplicidade das raízes: A derivada do polinômio em relação a $ x $ nos ajuda a determinar a multiplicidade das raízes. Devido à característica $ p $, a derivada de cada termo $ x{p{k}} $ é $ 0 $ se $ k \geq 1 $, o que indica que as raízes têm multiplicidade múltipla $ p^{e} $.

Passo 5

Direção: Se as raízes formam um subgrupo com multiplicidade $ p^{e} $, então o polinômio é um $ p $-polinômio:
  1. Estrutura do subgrupo: Como as raízes formam um subgrupo aditivo, há uma simetria e fechamento sob adição, o que reflete a estrutura do $ p $-polinômio onde as potências de $ x $ estão alinhadas com múltiplos de $ p $.
  2. Construção do polinômio: A existência de multiplicidade constante $ p^{e} $ para todas as raízes leva à forma específica do polinômio, garantindo que ele seja um $ p $-polinômio.

Passo 6

Segunda parte do problema:
Queremos mostrar que as raízes do $ p $-polinômio dado são todas simples se e somente se $ \alpha_{m} \neq 0 $.
Raízes simples:
Uma raiz é simples se sua multiplicidade é 1, ou seja, ela aparece apenas uma vez como solução da equação.

Passo 7

Mostrando que $ \alpha_{m} \neq 0 $ implica raízes simples:
  1. Coeficiente $ \alpha_{m} $: Se $ \alpha_{m} \neq 0 $, então o termo linear $ \alpha_{m} x $ está presente e não é anulada.
  2. Derivada do polinômio: A derivada do polinômio será $ \alpha_{m} $, que não é zero. Isso implica, pelo critério de multiplicidade, que as raízes são simples.

Passo 8

Mostrando que raízes são simples implica $ \alpha_{m} \neq 0 $:
  1. Raízes simples: Se todas as raízes têm multiplicidade 1, então a derivada do polinômio não compartilha raízes com o polinômio original.
  2. Coeficiente $ \alpha_{m} $: Se $ \alpha_{m} = 0 $, a derivada do polinômio também seria zero, o que implicaria que todas as raízes teriam multiplicidade maior que 1, contrariamente à hipótese de serem simples.

Resposta

Assim, mostramos que:
  1. Um polinômio monico é um $ p $-polinômio se e somente se suas raízes formam um subgrupo do grupo aditivo do campo de decomposição e todas têm a mesma multiplicidade $ p^{e} $.
  2. As raízes do $ p $-polinômio dado são todas simples se e somente se $ \alpha_{m} \neq 0 $.

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