Resolva as equações diferenciais separáveis:
y^{\prime}+y=y \cdot x \cdot e^{x+2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y' + y = y \,x\,e^{x+2},
que é de primeira ordem e separável. Vamos reescrevê-la de modo a separar as variáveis y e x.

Passo 2

Isolamos y' e fatoramos y no lado direito:
y' = y\,x\,e^{x+2} - y = y\bigl(x\,e^{x+2} - 1\bigr).
Como y' = \frac{dy}{dx}, temos
\frac{dy}{dx} = y\bigl(x\,e^{x+2} - 1\bigr).

Passo 3

Separamos as variáveis colocando todos os termos em y de um lado e em x do outro:
\frac{1}{y}\,dy = \bigl(x\,e^{x+2} - 1\bigr)\,dx.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int \bigl(x\,e^{x+2} - 1\bigr)\,dx.
No lado esquerdo fica \ln|y|. No lado direito, escrevemos
\int x\,e^{x+2}\,dx - \int 1\,dx.

Passo 5

Para \displaystyle\int x\,e^{x+2}\,dx usamos integração por partes tomando u = x e dv = e^{x+2}dx. Obtemos
\int x\,e^{x+2}\,dx = x\,e^{x+2} - \int e^{x+2}\,dx = x\,e^{x+2} - e^{x+2} + C_1 = (x-1)\,e^{x+2} + C_1.
Logo,
\int \bigl(x\,e^{x+2} - 1\bigr)\,dx = (x-1)\,e^{x+2} - x + C_2.

Passo 6

Reunindo, temos
\ln|y| = (x-1)\,e^{x+2} - x + C,
onde C é constante genérica. Exponenciando:
|y| = e^C \,e^{(x-1)e^{x+2} - x}.
Absorvendo o sinal e e^C em uma constante K\in\mathbb{R}\setminus\{0\}, obtemos
y = K\,e^{(x-1)e^{x+2} - x}.

Resposta

A solução geral da equação é
y(x) = C\,\exp\bigl((x-1)e^{x+2} - x\bigr),
onde C é constante arbitrária.

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