(1.0) Resolva as seguintes Integrais usando o método de integração por partes.
a) \int[(s+2+\Omega) \cos (2 s)] d s
b) \int_{0}^{\pi / 4}[(s+2+\Omega) \cos (2 s)] d s

Passo 1

O enunciado pede para calcular a) a integral indefinida
\int (s+2+\Omega)\cos(2s)\,ds
e b) a integral definida
\int_{0}^{\pi/4}(s+2+\Omega)\cos(2s)\,ds
Usaremos o método de integração por partes, que diz
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Para a parte a), escolhemos
u = s + 2 + \Omega,\quad dv = \cos(2s)\,ds.
Então
du = ds,\quad v = \int \cos(2s)\,ds = \frac{1}{2}\sin(2s).

Passo 3

Aplicando a fórmula de partes:
\int (s+2+\Omega)\cos(2s)\,ds = u\,v - \int v\,du = \bigl(s+2+\Omega\bigr)\,\frac{\sin(2s)}{2} - \int \frac{\sin(2s)}{2}\,ds.
Como
\int \sin(2s)\,ds = -\frac{1}{2}\cos(2s),
vem
\int (s+2+\Omega)\cos(2s)\,ds = \frac{s+2+\Omega}{2}\,\sin(2s) + \frac{1}{4}\cos(2s) + C.

Passo 4

Para a parte b), usamos a primitiva
F(s) = \frac{s+2+\Omega}{2}\,\sin(2s) + \frac{1}{4}\cos(2s)
e avaliamos de 0 a \pi/4:
\int_{0}^{\pi/4}(s+2+\Omega)\cos(2s)\,ds = F\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) - F(0).

Passo 5

Calculemos
F\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) = \frac{\tfrac{\pi}{4}+2+\Omega}{2}\,\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) + \frac{1}{4}\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = \frac{\tfrac{\pi}{4}+2+\Omega}{2}\cdot1 + \frac{1}{4}\cdot0 = \frac{\pi}{8} + \frac{2+\Omega}{2}.

Passo 6

E também
F(0) = \frac{0+2+\Omega}{2}\,\sin(0) + \frac{1}{4}\cos(0) = 0 + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}.
Portanto
\int_{0}^{\pi/4}(s+2+\Omega)\cos(2s)\,ds = \Bigl(\frac{\pi}{8} + \frac{2+\Omega}{2}\Bigr) - \frac{1}{4} = \frac{\pi}{8} + \frac{2+\Omega}{2} - \frac{1}{4}.
Como \tfrac{2}{2}=1, isso dá
\frac{\pi}{8} + 1 + \frac{\Omega}{2} - \frac{1}{4} = \frac{\pi}{8} + \frac{3}{4} + \frac{\Omega}{2}.

Resposta

a) \displaystyle \int (s+2+\Omega)\cos(2s)\,ds = \frac{s+2+\Omega}{2}\,\sin(2s) + \frac{1}{4}\cos(2s) + C.
b) \displaystyle \int_{0}^{\pi/4}(s+2+\Omega)\cos(2s)\,ds = \frac{\pi}{8} + \frac{3}{4} + \frac{\Omega}{2}.

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