Levando em conta a relação entre coordenadas cartesianas e esféricas, calcule a deriva de (r, ,
ф) com relação a ( e mostre que:
Dicas: Você deve se lembrar de que:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem duas formas de representar posições no espaço: as coordenadas cartesianas e as coordenadas esféricas . O exercício quer que a gente calcule como essas coordenadas esféricas mudam em relação às cartesianas, ou seja, encontrar as derivadas parciais de , e em relação a , e . Para isso, vamos usar a relação entre essas coordenadas e aplicar a regra da cadeia nas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como converter de coordenadas cartesianas para esféricas:
Agora, vamos calcular partial rpartial x = 12(x^2 + y^2 + z^2)^-1/2 cdot 2x = xraizx^2 + y^2 + z^2 = xr . Sabemos que xr = sin theta cos varphi . Então, derivando em relação a partial rpartial x = sin theta cos varphi :
Mas também sabemos que:
Então,
Passo 4
Vamos para partial rpartial y = yr . De maneira similar:
yr = sin theta sin varphi
E,
partial rpartial y = sin theta sin varphi
Portanto,
Passo 5
Agora, partial rpartial z = zr :
zr = cos theta
E,
partial rpartial z = cos theta
Então,
Passo 6
Vamos calcular partial thetapartial x = d cos^-1(u)du cdot partial upartial x = -1raiz1 - u^2 cdot partialpartial x(zr) . Sabemos que partial upartial x = 0 cdot r - z cdot xrr^2 = -z xr^3 . Aplicando a derivada:
partial thetapartial x = -1raiz1 - (zr)^2 cdot (-z xr^3) = z xr^3 raiz1 - z^2r^2 = x cos thetar
Onde partial thetapartial x = cos theta cos varphir . Calculando :
Então,
Porque e .
Portanto,
Passo 7
De maneira similar, para partial thetapartial y = y cos thetar m :
partial thetapartial y = cos theta sin varphir
Seguindo os mesmos passos anteriores, acabamos com:
Passo 8
Agora, partial thetapartial z = partialpartial z cos^-1(zr) :