Levando em conta a relação entre coordenadas cartesianas e esféricas, calcule a deriva de (r, theta,
ф) com relação a ( x, y, z) e mostre que:
lll partial rpartial x=xr=sin theta cos varphi & partial rpartial y=yr=sin theta sin varphi & partial rpartial z=zr=cos theta partial thetapartial x=cos theta cos varphir & partial thetapartial y=cos theta sin varphir & partial thetapartial z=-sin thetar partial varphipartial x=-sin varphir sin theta & partial varphipartial y=cos varphir sin theta & partial varphipartial z=0
Dicas: Você deve se lembrar de que:
x=r sin theta cos varphi y=r sin theta sin varphi z=r cos theta r=(x^2+y^2+z^2)^1 / 2 theta=cos ^-1(z / r) varphi=tan ^-1(y / x) d cos ^-1 ud u=-(1-u^2)^-1 / 2 mu^prime d tan ^-1 ud u=(1+u^2)^-1 partialpartial x=partialpartial r partial rpartial x+partialpartial theta partial thetapartial x+partialpartial varphi partial varphipartial x etc

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem duas formas de representar posições no espaço: as coordenadas cartesianas e as coordenadas esféricas . O exercício quer que a gente calcule como essas coordenadas esféricas mudam em relação às cartesianas, ou seja, encontrar as derivadas parciais de , e em relação a , e . Para isso, vamos usar a relação entre essas coordenadas e aplicar a regra da cadeia nas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como converter de coordenadas cartesianas para esféricas:
x = r sin theta cos varphi y = r sin theta sin varphi z = r cos theta
E as inversas:
r = raizx^2 + y^2 + z^2 theta = cos^-1(zr) varphi = tan^-1(yx)

Passo 3

Agora, vamos calcular partial rpartial x = 12(x^2 + y^2 + z^2)^-1/2 cdot 2x = xraizx^2 + y^2 + z^2 = xr . Sabemos que xr = sin theta cos varphi . Então, derivando em relação a partial rpartial x = sin theta cos varphi :
Mas também sabemos que:
Então,

Passo 4

Vamos para partial rpartial y = yr . De maneira similar:
yr = sin theta sin varphi
E,
partial rpartial y = sin theta sin varphi
Portanto,

Passo 5

Agora, partial rpartial z = zr :
zr = cos theta
E,
partial rpartial z = cos theta
Então,

Passo 6

Vamos calcular partial thetapartial x = d cos^-1(u)du cdot partial upartial x = -1raiz1 - u^2 cdot partialpartial x(zr) . Sabemos que partial upartial x = 0 cdot r - z cdot xrr^2 = -z xr^3 . Aplicando a derivada:
partial thetapartial x = -1raiz1 - (zr)^2 cdot (-z xr^3) = z xr^3 raiz1 - z^2r^2 = x cos thetar
Onde partial thetapartial x = cos theta cos varphir . Calculando :
Então,
Porque e .
Portanto,

Passo 7

De maneira similar, para partial thetapartial y = y cos thetar m :
partial thetapartial y = cos theta sin varphir
Seguindo os mesmos passos anteriores, acabamos com:

Passo 8

Agora, partial thetapartial z = partialpartial z cos^-1(zr) :
partial thetapartial z = -1raiz1 - (zr)^2 cdot (r - z cdot zrr^2) = -1raiz1 - z^2r^2 cdot r^2 - z^2r^3
Aplicando a derivada:
partial thetapartial z = -r^2 - z^2r^3 sin theta = -sin^2 thetar sin theta = -sin thetar
Simplificando:

Passo 9

Vamos para partial varphipartial x = d tan^-1(u)du cdot partial upartial x = 11 + u^2 cdot -yx^2 = -yx^2 + y^2 . Sabemos que x^2 + y^2 = r^2 sin^2 theta . Aplicando a derivada:
partial varphipartial x = -yr^2 sin^2 theta = -sin varphir sin theta
Mas, em coordenadas esféricas:
Então,

Passo 10

Para partial varphipartial y = d tan^-1(u)du cdot partial upartial y = 11 + u^2 cdot xx^2 = xx^2 + y^2 :
partial varphipartial y = xr^2 sin^2 theta = cos varphir sin theta
Usando :

Passo 11

Finalmente, partial varphipartial z = 0 . Como depende apenas de e , sua derivada em relação a é zero:

Resposta

Assim, a derivada de lll partial rpartial x=xr=sin theta cos varphi & partial rpartial y=yr=sin theta sin varphi & partial rpartial z=zr=cos theta partial thetapartial x=cos theta cos varphir & partial thetapartial y=cos theta sin varphir & partial thetapartial z=-sin thetar partial varphipartial x=-sin varphir sin theta & partial varphipartial y=cos varphir sin theta & partial varphipartial z=0 em relação a é:

Exercícios relacionados