Utilizando os resultados obtidos na questão 2 , reescreva as componentes dos operadores de momento angular,
em coordenadas esféricas, mostrando que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício de Mecânica Quântica que pede para reescrever as componentes dos operadores de momento angular,
,
e
, em coordenadas esféricas. Para isso, vamos precisar entender como os operadores de momento angular funcionam e como eles se expressam em diferentes sistemas de coordenadas, especialmente nas esféricas. Vamos usar derivadas parciais em
(o ângulo polar) e
(o ângulo azimutal) para fazer essa transformação.
Passo 2
Primeiro, lembre-se que os operadores de momento angular em coordenadas cartesianas são dados por:
Mas para trabalhar em coordenadas esféricas, precisamos expressar
,
e
em termos de
,
e
:
Passo 3
Agora, vamos focar em reescrever
. Em coordenadas esféricas, percebemos que a derivada em relação a
está diretamente relacionada a
. Assim, temos:
Isso porque, na direção do eixo
, o momento angular está associado apenas à variação com o ângulo azimutal
.
Passo 4
Para
e
, precisamos considerar como as mudanças em
e
afetam essas componentes. Em coordenadas esféricas, os operadores se misturam devido à geometria do sistema. Vamos derivar
:
Aqui,
e
aparecem devido à projeção das componentes no plano
, e
surge da relação entre os ângulos em coordenadas esféricas.
Passo 5
De forma semelhante, para
, obtemos:
Novamente, as funções trigonométricas refletem as projeções nas direções
e
, e a derivada em
capta a variação polar.
Passo 6
Essas expressões mostram como os operadores de momento angular se comportam em coordenadas esféricas, levando em conta as variações angulares
e
. É importante notar que a transformação para coordenadas esféricas simplifica a descrição de sistemas com simetria esférica, facilitando cálculos em problemas como átomos e moléculas.
Resposta
Portanto, as componentes dos operadores de momento angular em coordenadas esféricas são: