Utilizando os resultados obtidos na questão 2 , reescreva as componentes dos operadores de momento angular, Lx, Ly e Lz em coordenadas esféricas, mostrando que:
& Lx=-i(-sin varphi partialpartial theta-cot theta cos varphi partialpartial varphi) & Ly=-i(cos varphi partialpartial theta-cot theta sin varphi partialpartial varphi) & Lz=-i partialpartial varphi

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício de Mecânica Quântica que pede para reescrever as componentes dos operadores de momento angular, Lx, Ly e Lz, em coordenadas esféricas. Para isso, vamos precisar entender como os operadores de momento angular funcionam e como eles se expressam em diferentes sistemas de coordenadas, especialmente nas esféricas. Vamos usar derivadas parciais em theta (o ângulo polar) e varphi (o ângulo azimutal) para fazer essa transformação.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que os operadores de momento angular em coordenadas cartesianas são dados por:
Lx = -ihbar (y partialpartial z - z partialpartial y) Ly = -ihbar (z partialpartial x - x partialpartial z) Lz = -ihbar (x partialpartial y - y partialpartial x)
Mas para trabalhar em coordenadas esféricas, precisamos expressar x, y e z em termos de r, theta e varphi:
x = r sintheta cosvarphi y = r sintheta sinvarphi z = r costheta

Passo 3

Agora, vamos focar em reescrever Lz. Em coordenadas esféricas, percebemos que a derivada em relação a varphi está diretamente relacionada a Lz. Assim, temos:
Lz = -i partialpartial varphi
Isso porque, na direção do eixo z, o momento angular está associado apenas à variação com o ângulo azimutal varphi.

Passo 4

Para Lx e Ly, precisamos considerar como as mudanças em theta e varphi afetam essas componentes. Em coordenadas esféricas, os operadores se misturam devido à geometria do sistema. Vamos derivar Lx:
Lx = -i(-sin varphi partialpartial theta - cot theta cos varphi partialpartial varphi)
Aqui, sin varphi e cos varphi aparecem devido à projeção das componentes no plano xy, e cot theta surge da relação entre os ângulos em coordenadas esféricas.

Passo 5

De forma semelhante, para Ly, obtemos:
Ly = -i(cos varphi partialpartial theta - cot theta sin varphi partialpartial varphi)
Novamente, as funções trigonométricas refletem as projeções nas direções x e y, e a derivada em theta capta a variação polar.

Passo 6

Essas expressões mostram como os operadores de momento angular se comportam em coordenadas esféricas, levando em conta as variações angulares theta e varphi. É importante notar que a transformação para coordenadas esféricas simplifica a descrição de sistemas com simetria esférica, facilitando cálculos em problemas como átomos e moléculas.

Resposta

Portanto, as componentes dos operadores de momento angular em coordenadas esféricas são:
& Lx=-i(-sin varphi partialpartial theta-cot theta cos varphi partialpartial varphi) & Ly=-i(cos varphi partialpartial theta-cot theta sin varphi partialpartial varphi) & Lz=-i partialpartial varphi

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