Uma plataforma de massa
e raio
, em forma de disco homogêneo, gira no plano horizontal em torno de um eixo vertical que passa pelo seu centro. Uma pessoa de massa
encontra-se inicialmente parada na borda da plataforma quando esta gira com uma velocidade angular
. Considere que a pessoa caminha radialmente para o centro da plataforma. Qual será a velocidade angular de rotação
da plataforma quando a pessoa atingir uma distância
do centro?
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma plataforma que gira e uma pessoa que está andando em direção ao centro dela. O conteúdo envolve dinâmica rotacional, especificamente a conservação do momento angular. Para resolver, vamos precisar entender como o momento de inércia muda quando a pessoa se move e como isso afeta a velocidade angular da plataforma.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o momento de inércia da plataforma e da pessoa. A plataforma é um disco homogêneo, e a fórmula para o momento de inércia de um disco em relação ao seu eixo é:
onde $ M $ é a massa da plataforma e $ R $ é o raio.
Passo 3
A pessoa tem massa $ m = \frac{M}{2} $ e inicialmente está na borda da plataforma, a uma distância $ R $ do centro. O momento de inércia dela no início é:
Passo 4
Quando a pessoa se move para a distância $ r = \frac{R}{2} $ do centro, o novo momento de inércia dela será:
Passo 5
Agora, vamos calcular o momento de inércia total no início e no final. Inicialmente:
No final:
Passo 6
Como não há torque externo agindo no sistema, o momento angular é conservado. Isso significa que:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 7
Podemos simplificar essa equação cancelando $ M R^2 $ dos dois lados:
Resolvendo para $ \omega_f $:
Resposta
A velocidade angular final da plataforma é $ \omega_{f} = \frac{8}{5} \omega_{0} $. Portanto, a opção correta é (e)
.