Uma plataforma de massa M e raio R, em forma de disco homogêneo, gira no plano horizontal em torno de um eixo vertical que passa pelo seu centro. Uma pessoa de massa m=M/2 encontra-se inicialmente parada na borda da plataforma quando esta gira com uma velocidade angular omega0. Considere que a pessoa caminha radialmente para o centro da plataforma. Qual será a velocidade angular de rotação omegaf da plataforma quando a pessoa atingir uma distância r=R / 2 do centro?
(a) omegaf=2 omega0
(b) omegaf=12 omega0 / 7
© omegaf=omega0 / 2
(d) omegaf=4 omega0 / 3
(e) omegaf=8 omega0 / 5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma plataforma que gira e uma pessoa que está andando em direção ao centro dela. O conteúdo envolve dinâmica rotacional, especificamente a conservação do momento angular. Para resolver, vamos precisar entender como o momento de inércia muda quando a pessoa se move e como isso afeta a velocidade angular da plataforma.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o momento de inércia da plataforma e da pessoa. A plataforma é um disco homogêneo, e a fórmula para o momento de inércia de um disco em relação ao seu eixo é:
Iplataforma = 12 M R^2
onde $ M $ é a massa da plataforma e $ R $ é o raio.

Passo 3

A pessoa tem massa $ m = \frac{M}{2} $ e inicialmente está na borda da plataforma, a uma distância $ R $ do centro. O momento de inércia dela no início é:
m = M2

Passo 4

Quando a pessoa se move para a distância $ r = \frac{R}{2} $ do centro, o novo momento de inércia dela será:
r = R2

Passo 5

Agora, vamos calcular o momento de inércia total no início e no final. Inicialmente:
Iinicial = Iplataforma + Ipessoa inicial = 12 M R^2 + M2 R^2 = M R^2
No final:
Ifinal = Iplataforma + Ipessoa final = 12 M R^2 + M R^28 = 58 M R^2

Passo 6

Como não há torque externo agindo no sistema, o momento angular é conservado. Isso significa que:
Iinicial omega0 = Ifinal omegaf
Substituindo os valores que encontramos:
M R^2 omega0 = 58 M R^2 omegaf

Passo 7

Podemos simplificar essa equação cancelando $ M R^2 $ dos dois lados:
M R^2
Resolvendo para $ \omega_f $:
omega0 = 58 omegaf

Resposta

A velocidade angular final da plataforma é $ \omega_{f} = \frac{8}{5} \omega_{0} $. Portanto, a opção correta é (e) omegaf = 85 omega0 .

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