Levando em conta a tricotomia, mostre que a negação de a<b é a >= b. Em seguida, use a tricotomia para encontrar e justificar qual é a negação de a >= b.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a tricotomia dos números reais, que
  1. a negação de ,a<b é ,a>= b,
  2. a negação de ,a>= b é ,a<b.
    O conteúdo que vamos usar é o axioma da tricotomia: para quaisquer reais a,b, exatamente uma das três afirmações abaixo é verdadeira:
a<b, a=b, a>b

Passo 2

Definimos por convenção
a>= bequiva<= a (a>b);lor;(a=b)
Agora queremos neg(a<b). Pela tricotomia, se não vale a<b, então só resta que seja verdadeira a disjunção (a=b)lor(a>b). Logo
neg(a<b);Longrightarrow;(a=b)lor(a>b);Long<=ftrightarrow;a>= b
E reciprocamente, se a>= b então certamente não pode valer a<b. Portanto
neg(a<b);iff;a>= b

Passo 3

Agora fazemos neg(a>= b). Usando De Morgan em
a>= bequiv(a>b)lor(a=b)
temos
neg(a>= b);equiv;negl((a>b)lor(a=b)r);equiv;neg(a>b),wed>=,neg(a=b)
Mas pela tricotomia, se nem a>b nem a=b são verdadeiras, a única opção que resta é a<b. Assim
neg(a>= b);iff;a<b

Resposta

A negação de ,a<b é ,a>= b.
A negação de ,a>= b é ,a<b.

Exercícios relacionados