Mostre as seguintes fórmulas por indução:
1^3+2^3+ldots+n^3=[n(n+1)2]^2.

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução matemática, que
1^3 + 2^3 + cdots + n^3 = l[tfracn(n+1)2r]^2
O conteúdo é soma de potências e prova por indução finita. Para isso precisamos verificar a base da indução e depois mostrar o passo indutivo usando a hipótese de indução.

Passo 2

Base da indução ( n=1):
Lado esquerdo:
1^3 = 1
Lado direito:
l[tfrac1cdot(1+1)2r]^2 = l[tfrac1cdot 22r]^2 = 1^2 = 1
Como os dois lados coincidem, a propriedade vale para n=1.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que para um certo n>=1 valha
1^3 + 2^3 + cdots + n^3 = l[tfracn(n+1)2r]^2

Passo 4

Passo indutivo: devemos mostrar que a fórmula vale para n+1.
Começamos escrevendo
1^3 + 2^3 + cdots + n^3 + (n+1)^3 = sumk=1^n k^3 + (n+1)^3
Pela hipótese de indução, isso é
l[tfracn(n+1)2r]^2 + (n+1)^3

Passo 5

Agora fazemos a fatoração para chegar ao termo para n+1:
l[tfracn(n+1)2r]^2 + (n+1)^3 = n^2(n+1)^24 + (n+1)^3 = (n+1)^2l(n^24 + (n+1)r)
Dentro do parêntese:
n^24 + (n+1) = n^2 + 4n + 44 = (n+2)^24
Logo
(n+1)^2,(n+2)^24 = l[tfrac(n+1)(n+2)2r]^2,
que é exatamente a fórmula com n substituído por n+1. Assim o passo indutivo está completo.

Resposta

Portanto, por indução matemática, vale para todo n>=1 a identidade
1^3 + 2^3 + cdots + n^3 = l[tfracn(n+1)2r]^2

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