Mostre as seguintes fórmulas por indução:
.
Passo 1
O enunciado pede para provar, por indução matemática, que
O conteúdo é soma de potências e prova por indução finita. Para isso precisamos verificar a base da indução e depois mostrar o passo indutivo usando a hipótese de indução.
Passo 2
Base da indução (
):
Lado esquerdo:
Lado esquerdo:
Lado direito:
Como os dois lados coincidem, a propriedade vale para
.
Passo 3
Hipótese de indução: suponha que para um certo
valha
Passo 4
Passo indutivo: devemos mostrar que a fórmula vale para
.
Começamos escrevendo
Começamos escrevendo
Pela hipótese de indução, isso é
Passo 5
Agora fazemos a fatoração para chegar ao termo para
:
Dentro do parêntese:
Logo
que é exatamente a fórmula com
substituído por
. Assim o passo indutivo está completo.
Resposta
Portanto, por indução matemática, vale para todo
a identidade