Mostre, para todos a, b, c, d in Z, que
a<b e c<d Rightarrow a+c<b+d;

Passo 1

O enunciado afirma que para quaisquer a,b,c,dinZ, se
a < b e c < d
então devemos provar
a + c < b + d
O conteúdo que vamos usar é a propriedade de que em Z a desigualdade é estável sob adição e também a transitividade de <.

Passo 2

Partindo de a < b, somamos c a ambos os lados. Como vale em Z que
x < y ;Longrightarrow; x + z < y + z,
seguimos
a + c < b + c

Passo 3

De forma análoga, partindo de c < d e somando b a ambos os lados, obtemos
b + c < b + d

Passo 4

Agora aplicamos a transitividade de <: temos
a + c < b + c e b + c < b + d ;Longrightarrow; a + c < b + d

Resposta

a + c < b + d

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