Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência de números reais (an)n in N tal que a1 é dado e, para todo n in N, tem-se
an+1=an q
onde r é um número real fixo, diferente de 0 e 1 , chamado razão.
Mostre que an=a1 q^n-1.

Passo 1

O enunciado define uma progressão geométrica com primeiro termo a1 dado e razão qneq0,1, tal que para todo ninN vale
an+1=an,q
Queremos mostrar, usando indução, que
an=a1,q^,n-1
para todo n.

Passo 2

Caso base ( n=1): precisamos verificar que
a1=a1,q^,1-1=a1,q^0=a1
Isso é trivialmente verdadeiro, logo o caso base está ok.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que para algum k>=1 já valha
ak=a1,q^,k-1

Passo 4

Passo indutivo: usando a relação de recorrência,
ak+1=ak,q
Pela hipótese de indução substituímos ak:
ak+1=(a1,q^,k-1),q =a1,q^,k-1+1 =a1,q^,k,
que é exatamente a fórmula desejada para n=k+1.

Passo 5

Como o caso base é verdadeiro e o passo indutivo foi estabelecido, pelo princípio da indução matemática concluímos que
an=a1,q^,n-1
para todo ninN.

Resposta

an=a1,q^,n-1

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