Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência de números reais
tal que
é dado e, para todo
, tem-se
onde
é um número real fixo, diferente de 0 e 1 , chamado razão.
Mostre que
.
Mostre que
Passo 1
O enunciado define uma progressão geométrica com primeiro termo
dado e razão
, tal que para todo
vale
Queremos mostrar, usando indução, que
para todo
.
Passo 2
Caso base (
): precisamos verificar que
Isso é trivialmente verdadeiro, logo o caso base está ok.
Passo 3
Hipótese de indução: suponha que para algum
já valha
Passo 4
Passo indutivo: usando a relação de recorrência,
Pela hipótese de indução substituímos
:
que é exatamente a fórmula desejada para
.
Passo 5
Como o caso base é verdadeiro e o passo indutivo foi estabelecido, pelo princípio da indução matemática concluímos que
para todo
.