Mostre, para todos a, b, c, d in Z, que
a <= b Leftrightarrow a+c <= b+c;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em Z, a relação de ordem é invariante por translação, isto é,
a <= b Long<=ftrightarrow a + c <= b + c
Para isso vamos usar a definição de “ <=” em Z: dizemos que
a <= b
se, e somente se, existe um inteiro não-negativo k tal que
b = a + k

Passo 2

Prova de “ Rightarrow”: suponha a <= b. Então existe k in Z, k >= 0, com
b = a + k
Somando c a ambos os lados, obtemos
b + c = (a + k) + c = (a + c) + k
Como k>=0, pela definição isso implica
a + c <= b + c

Passo 3

Prova de “ Leftarrow”: suponha a + c <= b + c. Então existe m in Z, m >= 0, com
b + c = (a + c) + m
Subtraindo c de ambos os lados (ou somando -c) vem
b = a + m
Como m>=0, concluímos
a <= b

Resposta

Portanto, para quaisquer a,b,cinZ,
a <= b Long<=ftrightarrow a + c <= b + c

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