Mostre, para todos
, que
;
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em
, a relação de ordem é invariante por translação, isto é,
Para isso vamos usar a definição de “
” em
: dizemos que
se, e somente se, existe um inteiro não-negativo
tal que
Passo 2
Prova de “
”: suponha
. Então existe
,
, com
Somando
a ambos os lados, obtemos
Como
, pela definição isso implica
Passo 3
Prova de “
”: suponha
. Então existe
,
, com
Subtraindo
de ambos os lados (ou somando
) vem
Como
, concluímos
Resposta
Portanto, para quaisquer
,