Levando-sae em conta os resultados abaixo:
  • O volume V do sólido gerado pela rotação de uma região R em torno do eixo ox é
    V=integrala^b pi[f(x)]^2 d x
  • O volume V do sólido gerado pela rotação de uma região R em torno do eixo oy é
    V=integrala^b 2 pi x f(x) d x
  • A área da superfície S gerada pela revolução da curva dada por y=f(x) entre x=a e x=b em torno do eixo oy é
    S=integrala^b 2 pi x raiz1+[f^prime(x)]^2 d x
  • A área da superfície S gerada pela revolução da curva dada por y=f(x) entre x=a e x=b em torno do eixo o x é
    S=integrala^b 2 pi f(x) raiz1+[f^prime(x)]^2 d x
    determine a área da superfıcie de revolução e o volume do sólido de revolução determinados pela rotação da região dada em torno de cada um dos eixos coordenados:
    curvas y^2=2 p x e x^2=2 p y;

Passo 1

O enunciado pede o volume e a área da superfície do sólido obtido ao girar, em torno dos eixos Ox e Oy, a região R limitada pelas curvas
y^2 = 2,p,x, x^2 = 2,p,y
no primeiro quadrante. Para resolver usaremos o método dos discos (washers) e dos casquilhos (shells) para volume, e a fórmula
S = 2pi integral f(x),raiz1+[f'(x)]^2,dx
ou sua versão em função de y para área de superfície.

Passo 2

Determinamos os pontos de interseção resolvendo
y^2 = 2,p,x, x^2 = 2,p,y
Da primeira vem x = y^2/(2p). Substituindo na segunda:
l(tfracy^22pr)^2 = 2py ;Longrightarrow; y=0 ou y^3 = 8p^3 ;Longrightarrow; y=2p
Logo os vértices de R são (0,0) e (2p,2p). Em coordenadas x a região vale
0 <= x <= 2p, x^22p <= y <= raiz2px

Passo 3

Volume ao girar R em torno de Ox: usamos washers com raio externo
;yrm topo=raiz2px; e interno
;yrm fundo=x^2/(2p).
Vx =integral0^2ppil[(raiz2px)^2 - l(tfracx^22pr)^2r],dx =piintegral0^2pl(2px - tfracx^44p^2r),dx
Calculemos separadamente:
integral0^2p2px,dx = p,x^2|0^2p = 4p^3, integral0^2px^44p^2,dx = x^520,p^2|0^2p = 8p^35
Logo
Vx = pil(4p^3 - tfrac8p^35r) = 125,pi,p^3

Passo 4

Volume ao girar R em torno de Oy: método dos casquilhos, com altura
raiz2px-x^2/(2p) e raio x.
Vy =2piintegral0^2p xl(raiz2px-tfracx^22pr),dx ;Longrightarrow; Vy = 125,pi,p^3

Passo 5

Área de superfície ao girar R em torno de Ox: é a diferença entre a área gerada pela fronteira superior y=raiz2px e a gerada pela inferior y=x^2/(2p). Aplicando
S = 2piintegral f(x)raiz1+[f'(x)]^2,dx
em cada uma e subtraindo, chega-se a
Sx = pi,p^248,l(100raiz5 ;-;32 ;+;3ln(9+4raiz5)r)

Passo 6

Área de superfície ao girar R em torno de Oy: de forma análoga, agora descrito em função de y e fazendo a diferença entre as curvas x=raiz2py e x=y^2/(2p), obtém-se o mesmo resultado, isto é
Sy = pi,p^248,l(100raiz5 ;-;32 ;+;3ln(9+4raiz5)r)

Resposta

Volume em torno de Ox:
Vx = 125,pi,p^3
Volume em torno de Oy:
Vy = 125,pi,p^3
Área de superfície em torno de Ox:
Sx = pi,p^248,l(100raiz5 - 32 + 3ln(9+4raiz5)r)
Área de superfície em torno de Oy:
Sy = pi,p^248,l(100raiz5 - 32 + 3ln(9+4raiz5)r)

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