O volume do sólido gerado pela rotação de uma região em torno do eixo ox é
O volume do sólido gerado pela rotação de uma região em torno do eixo oy é
A área da superfície gerada pela revolução da curva dada por entre e em torno do eixo oy é
A área da superfície gerada pela revolução da curva dada por entre e em torno do eixo é
determine a área da superfıcie de revolução e o volume do sólido de revolução determinados pela rotação da região dada em torno de cada um dos eixos coordenados:
curvas e ;
Passo 1
O enunciado pede o volume e a área da superfície do sólido obtido ao girar, em torno dos eixos e , a região limitada pelas curvas
no primeiro quadrante. Para resolver usaremos o método dos discos (washers) e dos casquilhos (shells) para volume, e a fórmula
ou sua versão em função de para área de superfície.
Passo 2
Determinamos os pontos de interseção resolvendo
Da primeira vem . Substituindo na segunda:
Logo os vértices de são e . Em coordenadas a região vale
Passo 3
Volume ao girar em torno de : usamos washers com raio externo e interno .
Calculemos separadamente:
Logo
Vx = pil(4p^3 - tfrac8p^35r) = 125,pi,p^3
Passo 4
Volume ao girar R em torno de Oy: método dos casquilhos, com altura raiz2px-x^2/(2p) e raio x.
Área de superfície ao girar R em torno de Ox: é a diferença entre a área gerada pela fronteira superior y=raiz2px e a gerada pela inferior y=x^2/(2p). Aplicando
S = 2piintegral f(x)raiz1+[f'(x)]^2,dx
em cada uma e subtraindo, chega-se a
Sx = pi,p^248,l(100raiz5 ;-;32 ;+;3ln(9+4raiz5)r)
Passo 6
Área de superfície ao girar R em torno de Oy: de forma análoga, agora descrito em função de y e fazendo a diferença entre as curvas x=raiz2py e x=y^2/(2p), obtém-se o mesmo resultado, isto é