Um levantamento efetuado na carteira de uma agência bancária indicou que 20 \% dos títulos eram pagos com atraso. Se em determinado dia foram pagos 20 títulos da carteira, determine pela distribuição binomial a probabilidade que:
a)No máximo dois sejam pagos com atraso.
b) No mínimo três sejam pagos sem atraso.
c) Mais de 70 \% sejam pagos sem atraso.

Passo 1

O enunciado diz que, de 20 títulos pagos num dia, cada um tem probabilidade 0,2 de atraso. Como são pagamentos independentes, o número X de títulos atrasados segue uma distribuição binomial com parâmetros n=20 e p=0,2. A fórmula geral é
P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}.

Passo 2

Para (a) queremos P(X\le2). Usando a fórmula binomial,
P(X\le2)=\sum_{k=0}^{2}\binom{20}{k}(0,2)^k(0,8)^{20-k}.
Substituindo e somando, obtém-se aproximadamente
P(X\le2)\approx0,01153+0,05765+0,13690=0,20608.

Passo 3

Para (b) há “no mínimo três pagos sem atraso”. Sejam Y os títulos sem atraso, então Y\sim\mathrm{Bin}(20,0,8). Queremos
P(Y\ge3)=1-P(Y\le2) =1-\sum_{k=0}^{2}\binom{20}{k}(0,8)^k(0,2)^{20-k}.
Como \sum_{k=0}^{2}P(Y=k) é praticamente zero, concluímos
P(Y\ge3)\approx1,00.

Passo 4

Para (c) “mais de 70 % sem atraso” significa pelo menos 15 de 20, pois 0{,}7\cdot20=14. Logo
P(Y\ge15)=\sum_{k=15}^{20}\binom{20}{k}(0,8)^k(0,2)^{20-k}.
Computando cada termo e somando dá aproximadamente
P(Y\ge15)\approx0,1746+0,2182+0,2054+0,1369+0,0576+0,0115=0,8042.

Resposta

a) P(X\le2)=\displaystyle\sum_{k=0}^{2}\binom{20}{k}(0,2)^k(0,8)^{20-k}\approx0,2061.
b) P(\text{no mínimo 3 sem atraso})=1-\displaystyle\sum_{k=0}^{2}\binom{20}{k}(0,8)^k(0,2)^{20-k}\approx1,00í.
c) P(\text{mais de 70 % sem atraso})=\displaystyle\sum_{k=15}^{20}\binom{20}{k}(0,8)^k(0,2)^{20-k}\approx0,8042.

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