Um levantamento dos preços à vista de gasolina e de álcool, em alguns postos da cidade, estão mostrado na tabela abaixo (em R \$ ) (2.p.).
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Gasolina: 2, 61 ; 2,64 ; 2,56 ; 2,61 ; 2,60 ; 2,58
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Álcool: 1,90; 1,79; 1,88; 1,81; 1,88; 1,84
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a) Qual é a média, o desvio padrão, a variância, a moda, a mediana e o coeficiente de variação dos preços de cada combustível ?
b) Qual é o combustível que tem seus preços mais homogêneos?

Passo 1

O enunciado fornece dois conjuntos de preços à vista (gasolina e álcool) em n=6 postos e pede, para cada combustível, as seguintes medidas de estatística descritiva: média, desvio padrão, variância, moda, mediana e coeficiente de variação. Vamos usar as fórmulas de média aritmética, variância populacional, desvio padrão, mediana (para n par), moda (valor de maior frequência) e coeficiente de variação.

Passo 2

Para calcular a média usamos
\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i.
Gasolina: \sum x_i = 2{,}61+2{,}64+2{,}56+2{,}61+2{,}60+2{,}58 = 15{,}60, \bar{x}_G = 15{,}60/6 = 2{,}60.
Álcool: \sum x_i = 1{,}90+1{,}79+1{,}88+1{,}81+1{,}88+1{,}84 = 11{,}10, \bar{x}_A = 11{,}10/6 = 1{,}85.

Passo 3

Mediana e moda:
– Ordenando gasolina: 2{,}56,2{,}58,2{,}60,2{,}61,2{,}61,2{,}64.
Como n é par, \mathrm{mediana}_G = (2{,}60+2{,}61)/2 = 2{,}605.
Moda de gasolina = 2{,}61.
– Ordenando álcool: 1{,}79,1{,}81,1{,}84,1{,}88,1{,}88,1{,}90. \mathrm{mediana}_A = (1{,}84+1{,}88)/2 = 1{,}86.
Moda de álcool = 1{,}88.

Passo 4

Variância populacional e desvio padrão:
\sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2, \quad \sigma=\sqrt{\sigma^2}.
Gasolina: \sum(x_i-\bar{x}_G)^2=0{,}0038, \sigma_G^2=0{,}0038/6=0{,}0006333, \sigma_G=\sqrt{0{,}0006333}\approx0{,}0252.
Álcool: \sum(x_i-\bar{x}_A)^2=0{,}0096, \sigma_A^2=0{,}0096/6=0{,}0016, \sigma_A=\sqrt{0{,}0016}=0{,}04.

Passo 5

Coeficiente de variação:
CV = \frac{\sigma}{\bar{x}}\times100\%.
Gasolina: CV_G=(0{,}0252/2{,}60)\times100\%\approx0{,}97\%.
Álcool: CV_A=(0{,}04/1{,}85)\times100\%\approx2{,}16\%.

Passo 6

Como o coeficiente de variação da gasolina (0{,}97\%) é menor que o do álcool (2{,}16\%), os preços da gasolina são mais homogêneos.

Resposta

Média: gasolina 2{,}60, álcool 1{,}85.
Moda: gasolina 2{,}61, álcool 1{,}88.
Mediana: gasolina 2{,}605, álcool 1{,}86.
Variância: gasolina 0{,}0006333, álcool 0{,}0016.
Desvio padrão: gasolina 0{,}0252, álcool 0{,}04.
Coeficiente de variação: gasolina 0{,}97\%, álcool 2{,}16\%.
b) Gasolina tem preços mais homogêneos.

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