Mostre que se um poliedro convexo tem 10 arestas então ele tem 6 faces.

Passo 1

O enunciado afirma que temos um poliedro convexo com \,E=10 arestas e quer saber quantas faces F ele possui. Para resolver, vamos usar a fórmula de Euler para poliedros convexos e um argumento de contagem dupla sobre arestas em faces e arestas em vértices.

Passo 2

Em todo poliedro convexo vale a fórmula de Euler:
V - E + F = 2,
onde V é o número de vértices, E o número de arestas e F o número de faces. Como E=10, podemos reescrever:
V + F = 2 + E = 2 + 10 = 12.

Passo 3

Agora faremos contagem dupla das arestas a partir das faces. Cada face tem ao menos 3 arestas (pois não há “faces” com menos de 3 lados) e cada aresta fica em exatamente duas faces. Logo, se somarmos o número de arestas de todas as faces, obtemos
\sum_{\text{faces}}(\text{número de arestas da face}) =2E=2\cdot 10=20.ú
Como cada face contribui com pelo menos 3, segue
3F \;\le\;20 \quad\Longrightarrow\quad F \;\le\;\frac{20}{3}\;\approx6{,}66 \quad\Longrightarrow\quad F\le6.

Passo 4

Analogamente, fazemos contagem dupla das arestas a partir dos vértices. Cada vértice tem grau (número de arestas incidentes) pelo menos 3, e cada aresta incide em exatamente dois vértices. Então
\sum_{\text{vértices}}(\text{grau do vértice}) =2E=20,éé
implicando
3V \;\le\;20 \quad\Longrightarrow\quad V \;\le\;\frac{20}{3}\;\approx6{,}66 \quad\Longrightarrow\quad V\le6.

Passo 5

Da fórmula de Euler temos V+F=12. Já sabemos que F\le6 e V\le6. Se F fosse menor que 6, digamos 5, então V=12-F seria 7, o que violaria V\le6. O mesmo vale trocando papéis. Portanto a única solução inteira é
F=6 \quad\text{e}\quad V=6.

Resposta

O poliedro convexo com 10 arestas tem exatamente 6 faces.

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