Mostre que se um poliedro convexo tem 10 arestas então ele tem 6 faces.
Passo 1
O enunciado afirma que temos um poliedro convexo com
arestas e quer saber quantas faces
ele possui. Para resolver, vamos usar a fórmula de Euler para poliedros convexos e um argumento de contagem dupla sobre arestas em faces e arestas em vértices.
Passo 2
Em todo poliedro convexo vale a fórmula de Euler:
onde
é o número de vértices,
o número de arestas e
o número de faces. Como
, podemos reescrever:
Passo 3
Agora faremos contagem dupla das arestas a partir das faces. Cada face tem ao menos 3 arestas (pois não há “faces” com menos de 3 lados) e cada aresta fica em exatamente duas faces. Logo, se somarmos o número de arestas de todas as faces, obtemos
Como cada face contribui com pelo menos 3, segue
Passo 4
Analogamente, fazemos contagem dupla das arestas a partir dos vértices. Cada vértice tem grau (número de arestas incidentes) pelo menos 3, e cada aresta incide em exatamente dois vértices. Então
implicando
Passo 5
Da fórmula de Euler temos
. Já sabemos que
e
. Se
fosse menor que 6, digamos 5, então
seria
, o que violaria
. O mesmo vale trocando papéis. Portanto a única solução inteira é
Resposta
O poliedro convexo com 10 arestas tem exatamente 6 faces.