Questão
Seja X uma variável aleatória com função densidade f(x ; \theta)=\theta x^{\theta-1}, \theta>0 e 0<x<1. Considere
\begin{array}{lllll} 0.3 & 0.3 & 0.8 & 0.1 & 0.6 \end{array}
uma amostra observada de X. Assinale a alternativa correspondente à estimativa de máxima verossimilhança para \theta desta amostra.
(a) 0.99
(b) 0.92
(c) 0.61
(d) 0.48
(e) 2.10

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos.
  • Pede: a estimativa de máxima verossimilhança (MLE) para \theta dada a amostra observada.
  • Função densidade fornecida: f(x;\theta)=\theta x^{\theta-1}, com \theta>0 e 0<x<1.
  • Amostra observada (peguei estes números do enunciado): \;0,3,\;0,3,\;0,8,\;0,1,\;0,6.
  • Tamanho da amostra: n=5.

Passo 2

Definir a verossimilhança e escrever a função a ser maximizada.
  • A verossimilhança L(\theta) é o produto das densidades dos dados (assume-se amostra i.i.d.). Denotando as observações por x_1,\dots,x_n, temos
L(\theta)=\prod_{i=1}^{n} f(x_i;\theta)=\prod_{i=1}^{n}\theta x_i^{\theta-1}.
  • Aqui n é o número de observações (aqui n=5) e x_i são as observações fornecidas.
  • Podemos simplificar a expressão agrupando fatores:
L(\theta)=\theta^{n}\prod_{i=1}^{n} x_i^{\theta-1}.

Passo 3

Passar para a log-verossimilhança (explicação didática).
  • Trabalha-se com a log-verossimilhança porque ela transforma produto em soma, deixando derivadas e otimização muito mais fáceis. A transformação é monotônica, logo máximo de L e de \log L coincidem.
  • A log-verossimilhança é
\ell(\theta)=\ln L(\theta)=\ln\big(\theta^{n}\big)+\ln\!\left(\prod_{i=1}^{n} x_i^{\theta-1}\right).
  • Simplificando:
\ell(\theta)=n\ln\theta+(\theta-1)\sum_{i=1}^{n}\ln x_i.
  • Aqui \sum_{i=1}^{n}\ln x_i é a soma dos logaritmos das observações.

Passo 4

Derivar a log-verossimilhança e achar o candidato à máxima verossimilhança.
  • Derivando \ell(\theta) em relação a \theta:
\frac{d\ell}{d\theta}=\frac{n}{\theta}+\sum_{i=1}^{n}\ln x_i.
  • Para um extremo crítico, igualamos a zero:
\frac{n}{\theta}+\sum_{i=1}^{n}\ln x_i=0.
  • Isolando \theta obtemos a estimativa de máxima verossimilhança:
\hat\theta_{\text{MLE}}=-\frac{n}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\ln x_i}.
  • Observação importante: como 0<x_i<1, cada \ln x_i<0, então a soma é negativa e \hat\theta>0, compatível com o domínio \theta>0.

Passo 5

Verificar que o ponto crítico é máximo (checar segunda derivada).
  • Segunda derivada:
\frac{d^2\ell}{d\theta^2}=-\frac{n}{\theta^{2}}<0\quad\text{para todo }\theta\neq0.
  • Como a segunda derivada é negativa, o ponto crítico encontrado é de fato um máximo local (e, aqui, global).

Passo 6

Calcular numericamente \hat\theta usando a amostra dada (mostrando passo a passo as somas dos logaritmos).
  • Peguei as observações do enunciado: x_1=0,3,\;x_2=0,3,\;x_3=0,8,\;x_4=0,1,\;x_5=0,6.
  • Calcular \ln x_i (valores aproximados):
\begin{aligned} \ln(0,3)&\approx -1,203973,\\\ \ln(0,3)&\approx -1,203973,\\\ \ln(0,8)&\approx -0,223144,\\\ \ln(0,1)&\approx -2,302585,\\\ \ln(0,6)&\approx -0,510826. \end{aligned}
  • Somando:
\sum_{i=1}^{5}\ln x_i\approx -1,203973-1,203973-0,223144-2,302585-0,510826\approx -5,444500.

Passo 7

Obter \hat\theta numérico e comparar com as alternativas.
  • Usando a fórmula \hat\theta=-\dfrac{n}{\sum \ln x_i} com n=5:
\hat\theta\approx -\frac{5}{-5,444500}\approx 0,918637\ldots
  • Arredondando para duas casas decimais: \hat\theta\approx 0,92.
  • A alternativa que corresponde é a letra (b).

Resposta

(b) 0,92

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