Questão
Seja
uma variável aleatória com função densidade
e
. Considere
uma amostra observada de
. Assinale a alternativa correspondente à estimativa de máxima verossimilhança para
desta amostra.
(a) 0.99
(b) 0.92
(c) 0.61
(d) 0.48
(e) 2.10
(a) 0.99
(b) 0.92
(c) 0.61
(d) 0.48
(e) 2.10
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos.
- Pede: a estimativa de máxima verossimilhança (MLE) para
dada a amostra observada. - Função densidade fornecida:
, com e . - Amostra observada (peguei estes números do enunciado):
. - Tamanho da amostra:
.
Passo 2
Definir a verossimilhança e escrever a função a ser maximizada.
- A verossimilhança
é o produto das densidades dos dados (assume-se amostra i.i.d.). Denotando as observações por , temos
- Aqui
é o número de observações (aqui ) e são as observações fornecidas. - Podemos simplificar a expressão agrupando fatores:
Passo 3
Passar para a log-verossimilhança (explicação didática).
- Trabalha-se com a log-verossimilhança porque ela transforma produto em soma, deixando derivadas e otimização muito mais fáceis. A transformação é monotônica, logo máximo de
e de coincidem. - A log-verossimilhança é
- Simplificando:
- Aqui
é a soma dos logaritmos das observações.
Passo 4
Derivar a log-verossimilhança e achar o candidato à máxima verossimilhança.
- Derivando
em relação a :
- Para um extremo crítico, igualamos a zero:
- Isolando
obtemos a estimativa de máxima verossimilhança:
- Observação importante: como
, cada , então a soma é negativa e , compatível com o domínio .
Passo 5
Verificar que o ponto crítico é máximo (checar segunda derivada).
- Segunda derivada:
- Como a segunda derivada é negativa, o ponto crítico encontrado é de fato um máximo local (e, aqui, global).
Passo 6
Calcular numericamente
usando a amostra dada (mostrando passo a passo as somas dos logaritmos).
- Peguei as observações do enunciado:
. - Calcular
(valores aproximados):
- Somando:
Passo 7
Obter
numérico e comparar com as alternativas.
- Usando a fórmula
com :
- Arredondando para duas casas decimais:
. - A alternativa que corresponde é a letra (b).
Resposta
(b)