Ao levantar a biografia de um eminente político europeu, recentemente falecido, um professor de matemática verificou que ele viveu o primeiro terço de sua vida na Suíça, metade do tempo restante na França, e por fim viveu seus últimos 16 anos de vida na Itália. Baseado nestas informações pode-se concluir que a soma dos algarismos que compõem a idade com a qual o político faleceu é:
A) 10
B) 11
C) 12
D) 15

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre a soma dos algarismos da idade com que o político faleceu. As informações dadas são:
  • Viveu o primeiro \tfrac{1}{3} da sua vida na Suíça.
  • Depois viveu metade do tempo restante na França, isto é, \tfrac{1}{2} do que sobrou após o primeiro terço.
  • Por fim, viveu os últimos 16 anos na Itália.
    Esses são todos os dados relevantes do enunciado.

Passo 2

Vamos traduzir a situação para uma incógnita simples. Seja \;T\; a idade total (em anos) com que ele faleceu. A primeira informação, “primeiro \tfrac{1}{3} da vida”, significa que ele passou \tfrac{1}{3}T anos na Suíça. Aqui só estou definindo a variável e escrevendo o que cada pedaço representa; ainda não resolvi nada.

Passo 3

Agora calculemos quanto tempo restou depois dos anos na Suíça. O total é \;T\; e ele gastou \tfrac{1}{3}T lá, então o restante é
T - \tfrac{1}{3}T.
Para subtrair frações com o mesmo denominador, você pode pensar que T = \tfrac{3}{3}T, portanto
T - \tfrac{1}{3}T = \tfrac{3}{3}T - \tfrac{1}{3}T = \tfrac{2}{3}T.
Pequena explicação didática: quando subtraímos \tfrac{1}{3}T de T, estamos retirando uma parte de três partes iguais, sobrando duas partes de cada três, ou seja \tfrac{2}{3}T.

Passo 4

A próxima informação diz que ele viveu metade desse tempo restante na França. “Metade” significa multiplicar por \tfrac{1}{2}, então o tempo na França foi
\tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{2}{3}T.
Para multiplicar frações, multiplicamos numeradores e denominadores:
\tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{2}{3}T = \tfrac{1\cdot 2}{2\cdot 3}T = \tfrac{2}{6}T = \tfrac{1}{3}T.
Então ele passou \tfrac{1}{3}T anos na França. (Didática rápida: \tfrac{1}{2} de \tfrac{2}{3} é \tfrac{1\cdot2}{2\cdot3}=\tfrac{2}{6}=\tfrac{1}{3}.)

Passo 5

Agora vemos quanto sobrou após a França. Tínhamos \tfrac{2}{3}T restante e gastamos \tfrac{1}{3}T na França, então o que sobra é
\tfrac{2}{3}T - \tfrac{1}{3}T = \tfrac{1}{3}T.
O enunciado diz que esses últimos anos restantes corresponderam a 16 anos na Itália. Portanto temos a equação
\tfrac{1}{3}T = 16.

Passo 6

Resolvendo a equação para T: multiplicamos ambos os lados por 3 para isolar T:
T = 3\cdot 16 = 48.
Então a idade total com que o político faleceu foi \;48 anos.

Passo 7

Agora pedem a soma dos algarismos que compõem \;48. Os algarismos são 4 e 8; sua soma é
4 + 8 = 12.
Portanto a soma dos algarismos da idade é \;12.

Resposta

C) 12

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