(LIENHARD 2.15) An isothermal sphere 3 cm in diameter is kept at
in a large clay region. The temperature of the clay far from the sphere is kept at
. How much heat must be supplied to the sphere to maintain its temperature if
clay
? (Hint: You must solve the boundary value problem not in the sphere but in the clay surrounding it.) [
.]
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma esfera isotérmica com diâmetro de 3 cm, mantida a
dentro de uma região grande de argila. A temperatura da argila, lá longe da esfera, é de
. Queremos descobrir quanta energia térmica precisa ser fornecida à esfera para manter essa temperatura constante. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transferência de calor por condução em regime permanente, especificamente no contexto de simetria esférica.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
- Diâmetro da esfera: 3 cm
Raio - Temperatura da esfera:
- Temperatura da argila longe da esfera:
- Condutividade térmica da argila:
Passo 3
Agora, vamos lembrar da fórmula que descreve a transferência de calor por condução em uma configuração esférica no regime permanente:
Onde:
-
é a taxa de transferência de calor (em Watts) -
é a condutividade térmica do material (argila, no caso) -
é o raio da esfera -
é a temperatura da superfície da esfera -
é a temperatura da argila distante
Essa fórmula assume que a transferência de calor está acontecendo apenas na argila ao redor da esfera e que a temperatura na esfera e na argila distante são constantes.
Passo 4
Vamos substituir os valores na fórmula:
Primeiro, calculamos a diferença de temperatura:
Agora, multiplicamos os valores:
Vamos calcular passo a passo:
Resposta
A quantidade de calor que deve ser fornecida à esfera para manter sua temperatura é aproximadamente
.