(LIENHARD 2.15) An isothermal sphere 3 cm in diameter is kept at 80^circ C in a large clay region. The temperature of the clay far from the sphere is kept at 10^circ C. How much heat must be supplied to the sphere to maintain its temperature if k clay =1.28 W / m cdot K ? (Hint: You must solve the boundary value problem not in the sphere but in the clay surrounding it.) [ Q=16.9 W.]

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma esfera isotérmica com diâmetro de 3 cm, mantida a 80^circ C dentro de uma região grande de argila. A temperatura da argila, lá longe da esfera, é de 10^circ C. Queremos descobrir quanta energia térmica precisa ser fornecida à esfera para manter essa temperatura constante. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transferência de calor por condução em regime permanente, especificamente no contexto de simetria esférica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Diâmetro da esfera: 3 cm Rightarrow Raio R = 32 = 1,5 , cm = 0,015 , m
  • Temperatura da esfera: Ts = 80^circ C
  • Temperatura da argila longe da esfera: Tinfty = 10^circ C
  • Condutividade térmica da argila: k = 1,28 , W/(m cdot K)

Passo 3

Agora, vamos lembrar da fórmula que descreve a transferência de calor por condução em uma configuração esférica no regime permanente:
Q = 4 pi k R (Ts - Tinfty)
Onde:
  • Q é a taxa de transferência de calor (em Watts)
  • k é a condutividade térmica do material (argila, no caso)
  • R é o raio da esfera
  • Ts é a temperatura da superfície da esfera
  • Tinfty é a temperatura da argila distante
Essa fórmula assume que a transferência de calor está acontecendo apenas na argila ao redor da esfera e que a temperatura na esfera e na argila distante são constantes.

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula:
Q = 4 pi times 1,28 , Wm cdot K times 0,015 , m times (80 - 10) , K
Primeiro, calculamos a diferença de temperatura:
80 - 10 = 70 , K
Agora, multiplicamos os valores:
Q = 4 times 3,1416 times 1,28 times 0,015 times 70
Vamos calcular passo a passo:
  1. 4 times 3,1416 = 12,5664
  2. 12,5664 times 1,28 = 16,102 , W/(m cdot K)
  3. 16,102 times 0,015 = 0,24153 , W/K
  4. 0,24153 times 70 = 16,9071 , W

Resposta

A quantidade de calor que deve ser fornecida à esfera para manter sua temperatura é aproximadamente Q = 16,9 , W.

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