Uma liga metálica tem calor especifico dado por: \quad C p=0,3+2,4 \times 10^{-4} T-6,2 \times 10^{5} T^{-3}(\mathrm{cal} / \mathrm{gK})
Calcule o calor necessário para aquecer 200 g desta liga de 200 K para 450 K

Passo 1

Vou deixar claro o que o problema pede e quais dados temos. O enunciado dá o calor específico da liga como função da temperatura:
C_p = 0,3 + 2,4\times10^{-4}\,T - 6,2\times10^{5}\,T^{-3}\quad(\mathrm{cal}/\mathrm{gK})
Temos massa m=200\\ \mathrm{g} e queremos o calor necessário para aquecer de T_1=200\\ \mathrm{K} até T_2=450\\ \mathrm{K}.
Portanto, a pergunta é: calcular Q (em calorias) absorvido por 200\\ \mathrm{g} da liga ao subir de 200\\ \mathrm{K} para 450\\ \mathrm{K}.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida). O calor necessário para variar a temperatura de uma massa m quando o calor específico depende de T é dado por
Q = m \int_{T_1}^{T_2} C_p(T)\,dT.
Explicando: Q é a energia térmica (calorias), m é a massa em gramas, C_p(T) é o calor específico em \mathrm{cal}/\mathrm{gK} que depende da temperatura, e a integral soma infinitesimais de calor dQ = m\,C_p(T)\,dT ao longo da variação de temperatura. Como C_p depende de T, precisamos integrar.

Passo 3

Substituímos a expressão de C_p(T) dentro da integral:
Q = m \int_{T_1}^{T_2} \left(0,3 + 2,4\times10^{-4}T - 6,2\times10^{5}T^{-3}\right)\,dT.
Aqui cada termo será integrado separadamente (integração termo a termo é válida porque a integral é linear).

Passo 4

Calculemos a primitiva (integral indefinida) de cada termo. Integramos termo a termo:
\int 0,3\,dT = 0,3\,T,
\int 2,4\times10^{-4}\,T\,dT = 2,4\times10^{-4}\cdot\frac{T^{2}}{2} = 1,2\times10^{-4}\,T^{2},
\int -6,2\times10^{5}\,T^{-3}\,dT = -6,2\times10^{5}\cdot\left(\frac{T^{-2}}{-2}\right) = +3,1\times10^{5}\,T^{-2}.
Portanto uma primitiva é
F(T)=0,3\,T + 1,2\times10^{-4}\,T^{2} + 3,1\times10^{5}\,T^{-2}.
(repare que a integral de T^{-3} é -\tfrac{1}{2}T^{-2}, o sinal menos do coeficiente e o menos da primitiva cancelam, resultando termo positivo).

Passo 5

Agora avaliamos a integral definida \int_{T_1}^{T_2} C_p(T)\,dT = F(T_2)-F(T_1). Primeiro calculemos F(T_2) para T_2=450\\ \mathrm{K}.
Termo a termo:
0,3\cdot450 = 135,
1,2\times10^{-4}\cdot450^{2} = 1,2\times10^{-4}\cdot202500 = 24,3,
3,1\times10^{5}\cdot450^{-2} = \frac{310000}{202500} \approx 1,530864.
Somando,
F(450)\approx 135 + 24,3 + 1,530864 = 160,830864.

Passo 6

Agora F(T_1) para T_1=200\\ \mathrm{K}.
Termo a termo:
0,3\cdot200 = 60,
1,2\times10^{-4}\cdot200^{2} = 1,2\times10^{-4}\cdot40000 = 4,8,
3,1\times10^{5}\cdot200^{-2} = \frac{310000}{40000} = 7,75.
Somando,
F(200)=60 + 4,8 + 7,75 = 72,55.

Passo 7

A integral definida é
\int_{200}^{450} C_p(T)\,dT = F(450)-F(200) \approx 160,830864 - 72,55 = 88,280864\\ \left(\mathrm{cal}/\mathrm{g}\right).
Agora multiplicamos pela massa m=200\\ \mathrm{g}:
Q = m\cdot\left(\int_{200}^{450} C_p(T)\,dT\right) \approx 200 \times 88,280864 = 17656,1728\\ \mathrm{cal}.
Arredondando de forma razoável (duas casas decimais) obtemos Q\approx17656,17\\ \mathrm{cal}.

Resposta

17656,17\\ \mathrm{cal}

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