Uma mesa possui quatro pernas, sendo que três dela têm 1 m de comprimento. Uma das pernas é um pouco mais longa que as outras, 0,5 \mathrm{~mm}, de modo que a mesa balança ligeiramente. Um cilindro de aço de massa 90 kg é colocado sobre a mesa, de modo que as quatro pernas fiquem comprimidas e a mesa deixe de balançar. As pernas podem ser consideradas cilindros de madeira de seção reta 1 \mathrm{~cm}^{2}. O módulo de Young da madeira vale 1,3 \times 10^{10} \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2}. Suponha que o topo da mesa permaneça no nivel horizontal e que as pernas não fiquem encurvadas. Calcule a força exercida pelo solo sobre cada uma das quatro pernas.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as forças que o solo exerce em cada perna quando o cilindro é colocado sobre a mesa.
  • Três pernas têm comprimento \,1{,}00\\ \mathrm{m}.
  • Uma perna é mais longa em \,0{,}5\\ \mathrm{mm}=0{,}0005\\ \mathrm{m}, portanto seu comprimento inicial é \,1{,}0005\\ \mathrm{m}.
  • Área da seção de cada perna: \,1\\ \mathrm{cm}^2 = 1\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2.
  • Módulo de Young (módulo de elasticidade) da madeira: \,E=1{,}3\times10^{10}\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^2.
  • Massa do cilindro: \,M=90\\ \mathrm{kg}. Usaremos g=9{,}8\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2, então o peso aplicado é \,Mg.
  • Suposições: topo da mesa permanece rígido e horizontal; as pernas comprimem axialmente (sem flambagem). Queremos as forças verticais que o solo exerce em cada perna após o equilíbrio.
Problema: calcular as quatro forças (três iguais entre si — pernas curtas — e a da perna mais longa).

Passo 2

Conceito físico e modelo usado (aula rápida e prática).
  • Quando um corpo cilíndrico (perna) é comprimido axialmente por uma força F, a deformação axial (encurtamento) \Delta obedece à lei de Hooke para materiais elásticos lineares expressa pelo módulo de Young E:
E=\frac{\text{tensão}}{\text{deformação}}=\frac{(F/A)}{(\Delta/L)}.ãçã
Aqui A é a área da seção reta da perna e L é o comprimento inicial da perna. Reorganizando:
F=\frac{EA}{L}\,\Delta.
  • Então cada perna comporta-se como uma mola linear com constante elástica
k=\frac{EA}{L}.
  • Para as três pernas iguais o k será \,k_s=\dfrac{EA}{1{,}00}. Para a perna mais longa será \,k_l=\dfrac{EA}{1{,}0005}.
  • Como o tampo da mesa é rígido e permanece horizontal, no equilíbrio todas as quatro pernas ficam com o mesmo comprimento final. Assim as compressões relativas das pernas estão relacionadas entre si: se as pernas curtas encurtam \Delta_s, a perna longa encurta \Delta_l=\Delta_s+\Delta_0, onde \Delta_0 é a diferença inicial de comprimento da perna longa:
\Delta_0=0{,}0005\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Escrever as equações de equilíbrio vertical usando o modelo de molas.
  • Força em cada perna curta:
F_s=k_s\,\Delta_s,\qquad k_s=\frac{EA}{1{,}00}.
  • Força na perna longa:
F_l=k_l\,\Delta_l=k_l(\Delta_s+\Delta_0),\qquad k_l=\frac{EA}{1{,}0005}.
  • Equilíbrio vertical (somatório das forças de reação para cima = peso do cilindro):
3F_s+F_l=Mg.

Passo 4

Inserir expressões de F_s e F_l na equação de equilíbrio e obter equação para \Delta_s.
Substituindo:
3(k_s\Delta_s)+k_l(\Delta_s+\Delta_0)=Mg.
Agrupando termos em \Delta_s:
(3k_s+k_l)\Delta_s + k_l\Delta_0 = Mg.
Isolando \Delta_s:
\Delta_s=\frac{Mg - k_l\Delta_0}{3k_s+k_l}.

Passo 5

Calcular os parâmetros numéricos (calma, passo a passo).
  • Primeiro calcular EA:
EA = E\cdot A = \left(1{,}3\times10^{10}\right)\left(1\times10^{-4}\right)=1{,}3\times10^{6}\\ \mathrm{N}.
  • Constantes elásticas:
k_s=\frac{EA}{1{,}00}=1{,}3\times10^{6}\\ \mathrm{N}/\mathrm{m},
k_l=\frac{EA}{1{,}0005}=\frac{1{,}3\times10^{6}}{1{,}0005}\approx1{,}299350\times10^{6}\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}.
  • Produto k_l\Delta_0:
k_l\Delta_0 \approx 1{,}299350\times10^{6}\times0{,}0005\\ \mathrm{m}\approx649{,}675\\ \mathrm{N}.
  • Peso do cilindro:
Mg=90\times9{,}8=882\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Calcular \Delta_s numericamente.
Usando a fórmula do Passo 4:
\Delta_s=\frac{882 - 649{,}675}{3(1{,}3\times10^{6})+1{,}299350\times10^{6}}.
Numerador:
882 - 649{,}675 = 232{,}325\\ \mathrm{N}.
Denominador:
3(1{,}3\times10^{6})+1{,}299350\times10^{6}=3{,}900000\times10^{6}+1{,}299350\times10^{6}=5{,}199350\times10^{6}\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}.
Portanto
\Delta_s\approx\frac{232{,}325}{5{,}199350\times10^{6}}\\ \mathrm{m}\approx4{,}47\times10^{-5}\\ \mathrm{m}.
(nota: isto é aproximadamente 44{,}7\\ \mu\mathrm{m}).

Passo 7

Calcular as forças nas pernas a partir de \Delta_s.
  • Força em cada perna curta:
F_s=k_s\Delta_s=(1{,}3\times10^{6})(4{,}467\times10^{-5})\\ \mathrm{N}\approx58{,}08\\ \mathrm{N}.
  • Força na perna longa:
F_l=k_l(\Delta_s+\Delta_0)\approx1{,}299350\times10^{6}\times(4{,}467\times10^{-5}+5{,}0\times10^{-4})\\ \mathrm{N}.
Calcule o somatório dentro do parêntese:
\Delta_s+\Delta_0\approx0{,}0005447\\ \mathrm{m}.
Então
F_l\approx1{,}299350\times10^{6}\times0{,}0005447\\ \mathrm{N}\approx707{,}76\\ \mathrm{N}.
Verificação rápida: 3F_s+F_l\approx3(58{,}08)+707{,}76\approx174{,}24+707{,}76=882{,}00\\ \mathrm{N}, que é exatamente Mg (dentro de arredondamento), portanto consistente.

Passo 8

Interpretação física final (rápida e motivadora).
  • A perna mais longa suporta a maior parte do peso porque, por ser inicialmente mais longa, ela precisa se comprimir mais para igualar a retirada de comprimento das outras três; como a rigidez das pernas é grande (madeira dura com E alto), uma pequena diferença de comprimento gera grande diferença de força.
  • Os valores obtidos são pequenos para cada perna curta (cerca de 58\\ \mathrm{N}), enquanto a perna longa chega a sustentar cerca de 708\\ \mathrm{N}.

Resposta

Perna longa: F_{l}\approx707{,}76\\ \mathrm{N}
Cada perna curta: F_{s}\approx58{,}08\\ \mathrm{N}

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