Uma mesa possui quatro pernas, sendo que três dela têm 1 m de comprimento. Uma das pernas é um pouco mais longa que as outras,
, de modo que a mesa balança ligeiramente. Um cilindro de aço de massa 90 kg é colocado sobre a mesa, de modo que as quatro pernas fiquem comprimidas e a mesa deixe de balançar. As pernas podem ser consideradas cilindros de madeira de seção reta
. O módulo de Young da madeira vale
. Suponha que o topo da mesa permaneça no nivel horizontal e que as pernas não fiquem encurvadas. Calcule a força exercida pelo solo sobre cada uma das quatro pernas.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as forças que o solo exerce em cada perna quando o cilindro é colocado sobre a mesa.
- Três pernas têm comprimento
. - Uma perna é mais longa em
, portanto seu comprimento inicial é . - Área da seção de cada perna:
. - Módulo de Young (módulo de elasticidade) da madeira:
. - Massa do cilindro:
. Usaremos , então o peso aplicado é . - Suposições: topo da mesa permanece rígido e horizontal; as pernas comprimem axialmente (sem flambagem). Queremos as forças verticais que o solo exerce em cada perna após o equilíbrio.
Problema: calcular as quatro forças (três iguais entre si — pernas curtas — e a da perna mais longa).
Passo 2
Conceito físico e modelo usado (aula rápida e prática).
- Quando um corpo cilíndrico (perna) é comprimido axialmente por uma força
, a deformação axial (encurtamento) obedece à lei de Hooke para materiais elásticos lineares expressa pelo módulo de Young :
Aqui
é a área da seção reta da perna e
é o comprimento inicial da perna. Reorganizando:
- Então cada perna comporta-se como uma mola linear com constante elástica
- Para as três pernas iguais o
será . Para a perna mais longa será . - Como o tampo da mesa é rígido e permanece horizontal, no equilíbrio todas as quatro pernas ficam com o mesmo comprimento final. Assim as compressões relativas das pernas estão relacionadas entre si: se as pernas curtas encurtam
, a perna longa encurta , onde é a diferença inicial de comprimento da perna longa:
Passo 3
Escrever as equações de equilíbrio vertical usando o modelo de molas.
- Força em cada perna curta:
- Força na perna longa:
- Equilíbrio vertical (somatório das forças de reação para cima = peso do cilindro):
Passo 4
Inserir expressões de
e
na equação de equilíbrio e obter equação para
.
Substituindo:
Agrupando termos em
:
Isolando
:
Passo 5
Calcular os parâmetros numéricos (calma, passo a passo).
- Primeiro calcular
:
- Constantes elásticas:
- Produto
:
- Peso do cilindro:
Passo 6
Calcular
numericamente.
Usando a fórmula do Passo 4:
Numerador:
Denominador:
Portanto
(nota: isto é aproximadamente
).
Passo 7
Calcular as forças nas pernas a partir de
.
- Força em cada perna curta:
- Força na perna longa:
Calcule o somatório dentro do parêntese:
Então
Verificação rápida:
, que é exatamente
(dentro de arredondamento), portanto consistente.
Passo 8
Interpretação física final (rápida e motivadora).
- A perna mais longa suporta a maior parte do peso porque, por ser inicialmente mais longa, ela precisa se comprimir mais para igualar a retirada de comprimento das outras três; como a rigidez das pernas é grande (madeira dura com
alto), uma pequena diferença de comprimento gera grande diferença de força. - Os valores obtidos são pequenos para cada perna curta (cerca de
), enquanto a perna longa chega a sustentar cerca de .
Resposta
Perna longa:
Cada perna curta:
Cada perna curta: