Uma partícula de massa
com velocidade de módulo
, choca-se frontalmente com uma outra de massa
. Após a colisão,
possui velocidade de módulo
. A massa
, chocando-se com a mesma velocidade de módulo
com uma partícula de massa
, faz com que esta adquira uma velocidade de módulo
. Os choques são elásticos e as massas
e
estão inicialmente em repouso. Calcule
e
em termos de
e
Passo 1
O enunciado dá duas experiências independentes e pede para encontrar
e
. Dados e perguntas, organizados claramente:
-
Dados da experiência A:
- Uma partícula de massa
move-se com velocidade de módulo e choca-se frontalmente com uma partícula de massa que está inicialmente em repouso. - Após o choque elástico, a partícula
tem velocidade de módulo . (Este é um dado conhecido.)
- Uma partícula de massa
-
Dados da experiência B:
- A mesma partícula de massa
(com a mesma velocidade de módulo inicial) choca-se frontalmente com uma partícula de massa que está inicialmente em repouso. - Após o choque elástico, a partícula
tem velocidade de módulo . (Este é um dado conhecido.)
- A mesma partícula de massa
-
Informações adicionais:
- Ambos os choques são elásticos (energia cinética e momento linear conservados).
- As massas
e estão inicialmente em repouso. - Quantidades conhecidas:
. - Quantidades a determinar:
e .
A partir daqui vamos usar as leis de conservação adequadas e deduzir passo a passo as fórmulas que relacionam essas quantidades.
Passo 2
Vamos obter a fórmula que relaciona a velocidade final da partícula inicialmente em repouso com as massas e a velocidade inicial do projétil, para um choque elástico unidimensional. Considere um choque frontal entre massas
(velocidade inicial
) e
(velocidade inicial
). Denotamos as velocidades depois do choque por
para
e
para
.
As equações de conservação são:
conservação do momento:
conservação da energia cinética:
Vou manipular essas equações para obter
em função de
e
. Primeiro isolo
na equação do momento:
Substituo isso na conservação da energia (multiplicando a energia por 2 para ficar sem os
):
Agora desenvolvo o quadrado:
Simplificando:
Cancelando
dos dois lados e recolhendo termos em
:
Assumindo
(caso contrário o resultado trivial é nulo), dividimos por
e por
e isolamos
:
Esta é a fórmula padrão: quando um projétil de massa
e velocidade
atinge uma massa
inicialmente em repouso num choque elástico unidimensional, a velocidade adquirida por
é
Passo 3
Agora aplicamos a fórmula do passo anterior às duas experiências do enunciado.
- Na experiência com
(caso A) temos a velocidade final conhecida . Pela fórmula,
- Na experiência com
(caso B) temos a velocidade final conhecida . Pela mesma fórmula (substituindo por ),
Estas são duas equações com as duas incógnitas
e
.
Passo 4
Elimino
dividindo a primeira equação pela segunda. Dividindo membro a membro:
Ou seja,
Agora resolvo essa equação para
. Faço produto em cruz:
Expandindo os dois lados:
Isolo os termos com
num lado:
Finalmente, isolando
:
Essa é a expressão de
em termos dos dados. (Observação: se
o denominador zera; nesse caso deve-se analisar a situação física: tipicamente isso ocorre quando
e então as equações não determinam
por esse caminho — mas o enunciado pressupõe um caso bem formulado onde existe solução.)
Passo 5
Agora calculamos
. Podemos usar qualquer das equações do passo 3; uso a primeira
e isolo
:
Substituo a expressão encontrada para
. Para facilitar, primeiro calcule
em termos do numerador e denominador usados em
. Com
temos
Simplificando o numerador:
Logo
Agora substituo em
:
Portanto obtivemos uma expressão direta para
em termos apenas de
:
Passo 6
Resumo físico e checagem rápida (para te deixar confiante):
- A fórmula para
é homogênea em massa (tem unidades de massa) e depende linearmente dos produtos , como esperado. - A fórmula para
tem unidade de velocidade; dá resultado finito desde que e (esses são casos degenerados que correspondem a situações limites do problema). - Se quiser, dá para substituir explicitamente
na expressão de e obter a mesma forma que apresentamos; já fiz essa substituição algebraicamente no passo anterior.