Uma partícula de massa m_{1} com velocidade de módulo v, choca-se frontalmente com uma outra de massa m_{2}. Após a colisão, m_{2} possui velocidade de módulo v_{2}. A massa m_{1}, chocando-se com a mesma velocidade de módulo v com uma partícula de massa m_{3}, faz com que esta adquira uma velocidade de módulo v_{3}. Os choques são elásticos e as massas m_{2} e m_{3} estão inicialmente em repouso. Calcule m_{1} e v em termos de m_{2}, m_{3}, v_{2} e v_{3}

Passo 1

O enunciado dá duas experiências independentes e pede para encontrar m_1 e v. Dados e perguntas, organizados claramente:
  • Dados da experiência A:
    • Uma partícula de massa m_1 move-se com velocidade de módulo v e choca-se frontalmente com uma partícula de massa m_2 que está inicialmente em repouso.
    • Após o choque elástico, a partícula m_2 tem velocidade de módulo v_2. (Este v_2 é um dado conhecido.)
  • Dados da experiência B:
    • A mesma partícula de massa m_1 (com a mesma velocidade de módulo v inicial) choca-se frontalmente com uma partícula de massa m_3 que está inicialmente em repouso.
    • Após o choque elástico, a partícula m_3 tem velocidade de módulo v_3. (Este v_3 é um dado conhecido.)
  • Informações adicionais:
    • Ambos os choques são elásticos (energia cinética e momento linear conservados).
    • As massas m_2 e m_3 estão inicialmente em repouso.
    • Quantidades conhecidas: m_2,\; m_3,\; v_2,\; v_3.
    • Quantidades a determinar: m_1 e v.
A partir daqui vamos usar as leis de conservação adequadas e deduzir passo a passo as fórmulas que relacionam essas quantidades.

Passo 2

Vamos obter a fórmula que relaciona a velocidade final da partícula inicialmente em repouso com as massas e a velocidade inicial do projétil, para um choque elástico unidimensional. Considere um choque frontal entre massas m_1 (velocidade inicial v) e m_2 (velocidade inicial 0). Denotamos as velocidades depois do choque por v_1' para m_1 e v_2' para m_2.
As equações de conservação são:
conservação do momento:
m_1 v = m_1 v_1' + m_2 v_2'
conservação da energia cinética:
\frac{1}{2}m_1 v^2 = \frac{1}{2}m_1 v_1'^2 + \frac{1}{2}m_2 v_2'^2.
Vou manipular essas equações para obter v_2' em função de m_1,\; m_2 e v. Primeiro isolo v_1' na equação do momento:
v_1' = v - \frac{m_2}{m_1} v_2'.
Substituo isso na conservação da energia (multiplicando a energia por 2 para ficar sem os \tfrac12):
m_1 v^2 = m_1\left(v - \frac{m_2}{m_1} v_2'\right)^2 + m_2 v_2'^2.
Agora desenvolvo o quadrado:
m_1 v^2 = m_1\left(v^2 - 2\frac{m_2}{m_1} v v_2' + \frac{m_2^2}{m_1^2} v_2'^2\right) + m_2 v_2'^2.
Simplificando:
m_1 v^2 = m_1 v^2 - 2 m_2 v v_2' + \frac{m_2^2}{m_1} v_2'^2 + m_2 v_2'^2.
Cancelando m_1 v^2 dos dois lados e recolhendo termos em v_2':
0 = -2 m_2 v v_2' + v_2'^2\left(\frac{m_2^2}{m_1} + m_2\right) = -2 m_2 v v_2' + v_2'^2 \frac{m_2 (m_1 + m_2)}{m_1}.
Assumindo v_2'\neq 0 (caso contrário o resultado trivial é nulo), dividimos por m_2 e por v_2' e isolamos v_2':
2 v = v_2' \frac{m_1 + m_2}{m_1} \quad\Rightarrow\quad v_2' = \frac{2 m_1}{m_1 + m_2}\, v.
Esta é a fórmula padrão: quando um projétil de massa m_1 e velocidade v atinge uma massa m_2 inicialmente em repouso num choque elástico unidimensional, a velocidade adquirida por m_2 é
v_2' = \frac{2 m_1}{m_1 + m_2}\, v.

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula do passo anterior às duas experiências do enunciado.
  • Na experiência com m_2 (caso A) temos a velocidade final conhecida v_2. Pela fórmula,
v_2 = \frac{2 m_1}{m_1 + m_2}\, v.
  • Na experiência com m_3 (caso B) temos a velocidade final conhecida v_3. Pela mesma fórmula (substituindo m_2 por m_3),
v_3 = \frac{2 m_1}{m_1 + m_3}\, v.
Estas são duas equações com as duas incógnitas m_1 e v.

Passo 4

Elimino v dividindo a primeira equação pela segunda. Dividindo membro a membro:
\frac{v_2}{v_3} = \frac{\dfrac{2 m_1}{m_1 + m_2}\, v}{\dfrac{2 m_1}{m_1 + m_3}\, v} = \frac{m_1 + m_3}{m_1 + m_2}.
Ou seja,
\frac{v_2}{v_3} = \frac{m_1 + m_3}{m_1 + m_2}.
Agora resolvo essa equação para m_1. Faço produto em cruz:
v_2 (m_1 + m_2) = v_3 (m_1 + m_3).
Expandindo os dois lados:
v_2 m_1 + v_2 m_2 = v_3 m_1 + v_3 m_3.
Isolo os termos com m_1 num lado:
m_1 (v_2 - v_3) = v_3 m_3 - v_2 m_2.
Finalmente, isolando m_1:
m_1 = \frac{v_3 m_3 - v_2 m_2}{v_2 - v_3}.
Essa é a expressão de m_1 em termos dos dados. (Observação: se v_2=v_3 o denominador zera; nesse caso deve-se analisar a situação física: tipicamente isso ocorre quando m_2=m_3 e então as equações não determinam m_1 por esse caminho — mas o enunciado pressupõe um caso bem formulado onde existe solução.)

Passo 5

Agora calculamos v. Podemos usar qualquer das equações do passo 3; uso a primeira
v_2 = \frac{2 m_1}{m_1 + m_2}\, v
e isolo v:
v = v_2 \frac{m_1 + m_2}{2 m_1}.
Substituo a expressão encontrada para m_1. Para facilitar, primeiro calcule m_1 + m_2 em termos do numerador e denominador usados em m_1. Com m_1 = \dfrac{v_3 m_3 - v_2 m_2}{v_2 - v_3} temos
m_1 + m_2 = \frac{v_3 m_3 - v_2 m_2}{v_2 - v_3} + m_2 = \frac{v_3 m_3 - v_2 m_2 + (v_2 - v_3) m_2}{v_2 - v_3}.
Simplificando o numerador:
v_3 m_3 - v_2 m_2 + v_2 m_2 - v_3 m_2 = v_3 (m_3 - m_2).
Logo
m_1 + m_2 = \frac{v_3 (m_3 - m_2)}{v_2 - v_3}.
Agora substituo em v = v_2 \dfrac{m_1 + m_2}{2 m_1}:
v = v_2 \frac{\dfrac{v_3 (m_3 - m_2)}{v_2 - v_3}}{2 \dfrac{v_3 m_3 - v_2 m_2}{v_2 - v_3}} = v_2 \frac{v_3 (m_3 - m_2)}{2 (v_3 m_3 - v_2 m_2)}.
Portanto obtivemos uma expressão direta para v em termos apenas de m_2,\; m_3,\; v_2,\; v_3:
v = \frac{v_2\, v_3\, (m_3 - m_2)}{2\bigl(v_3 m_3 - v_2 m_2\bigr)}.

Passo 6

Resumo físico e checagem rápida (para te deixar confiante):
  • A fórmula para m_1 é homogênea em massa (tem unidades de massa) e depende linearmente dos produtos v_i m_i, como esperado.
  • A fórmula para v tem unidade de velocidade; dá resultado finito desde que v_3 m_3 \neq v_2 m_2 e v_2\neq v_3 (esses são casos degenerados que correspondem a situações limites do problema).
  • Se quiser, dá para substituir explicitamente m_1 na expressão de v e obter a mesma forma que apresentamos; já fiz essa substituição algebraicamente no passo anterior.

Resposta

m_1 = \frac{v_3 m_3 - v_2 m_2}{v_2 - v_3}
v = \frac{v_2\, v_3\, (m_3 - m_2)}{2\bigl(v_3 m_3 - v_2 m_2\bigr)}

Exercícios relacionados