A ligação entre dois reservatórios, mantidos em níveis constantes, é feita por duas tubulações em paralelo. A primeira com 1500 m de comprimento, 300 mm de diâmetro, com fator de atrito
, transporta uma vazão de
de água. Determine a vazão transportada pela segunda tubulação, com 3000 m de comprimento, 600 mm de diâmetro.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois reservatórios com níveis de água constantes ligados por duas tubulações em paralelo. A primeira tubulação tem 1500 metros de comprimento, 300 milímetros de diâmetro, fator de atrito 0,032 e transporta uma vazão de 0,056 metros cúbicos por segundo. A segunda tubulação tem 3000 metros de comprimento e 600 milímetros de diâmetro, e precisamos descobrir qual é a vazão que ela transporta.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de Hidráulica de Fluidos, especialmente a equação de Darcy-Weisbach, que relaciona perda de carga em tubos com a vazão de água. Vamos precisar entender como fatores como comprimento, diâmetro e fator de atrito influenciam a vazão nas tubulações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da equação de Darcy-Weisbach para perda de carga (h):
Onde:
- $ h $ é a perda de carga (m)
- $ f $ é o fator de atrito
- $ L $ é o comprimento do tubo (m)
- $ D $ é o diâmetro interno do tubo (m)
- $ v $ é a velocidade da água no tubo (m/s)
- $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente $ 9,81 , m/s^2 $)
Como as duas tubulações estão ligadas em paralelo entre reservatórios com níveis constantes, a perda de carga nas duas deve ser igual, ou seja, $ h_1 = h_2 $.
Passo 3
Vamos expressar a velocidade $ v $ em termos da vazão $ Q $. Sabemos que:
Onde $ A $ é a área da seção transversal do tubo. A área de um tubo circular é:
Então, a velocidade pode ser escrita como:
Passo 4
Substituindo a expressão da velocidade na equação de perda de carga, temos:
Simplificando essa expressão:
Ou seja:
Passo 5
Como $ h_1 = h_2 $, podemos igualar as expressões das duas tubulações:
Podemos simplificar cancelando termos comuns:
Passo 6
Agora, vamos isolar $ Q_2 $:
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Passo 7
Vamos substituir os valores conhecidos:
- $ Q_1 = 0,056 , m^3/s $
- $ f_1 = 0,032 $
- $ L_1 = 1500 , m $
- $ D_1 = 0,3 , m $ (300 mm convertido para metros)
- $ L_2 = 3000 , m $
- $ D_2 = 0,6 , m $ (600 mm convertido para metros)
Substituindo:
Observando que, como as tubulações são semelhantes, podemos assumir que o fator de atrito $ f_2 = f_1 = 0,032 $.
Passo 8
Calculando os valores dentro da raiz:
Primeiro, calculamos $ D_2^5 $ e $ D_1^5 $:
Agora, substituímos:
Simplificamos os termos:
Calculando os numeradores e denominadores:
Então:
Passo 9
Sabemos que $ \sqrt{16} = 4 $, então:
Resposta
A vazão transportada pela segunda tubulação é de 0,224 metros cúbicos por segundo.