A ligação entre dois reservatórios, mantidos em níveis constantes, é feita por duas tubulações em paralelo. A primeira com 1500 m de comprimento, 300 mm de diâmetro, com fator de atrito f=0,032, transporta uma vazão de 0,056 m^3 / s de água. Determine a vazão transportada pela segunda tubulação, com 3000 m de comprimento, 600 mm de diâmetro.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois reservatórios com níveis de água constantes ligados por duas tubulações em paralelo. A primeira tubulação tem 1500 metros de comprimento, 300 milímetros de diâmetro, fator de atrito 0,032 e transporta uma vazão de 0,056 metros cúbicos por segundo. A segunda tubulação tem 3000 metros de comprimento e 600 milímetros de diâmetro, e precisamos descobrir qual é a vazão que ela transporta.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de Hidráulica de Fluidos, especialmente a equação de Darcy-Weisbach, que relaciona perda de carga em tubos com a vazão de água. Vamos precisar entender como fatores como comprimento, diâmetro e fator de atrito influenciam a vazão nas tubulações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da equação de Darcy-Weisbach para perda de carga (h):
h = f cdot LD cdot v^22g
Onde:
  • $ h $ é a perda de carga (m)
  • $ f $ é o fator de atrito
  • $ L $ é o comprimento do tubo (m)
  • $ D $ é o diâmetro interno do tubo (m)
  • $ v $ é a velocidade da água no tubo (m/s)
  • $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente $ 9,81 , m/s^2 $)
Como as duas tubulações estão ligadas em paralelo entre reservatórios com níveis constantes, a perda de carga nas duas deve ser igual, ou seja, $ h_1 = h_2 $.

Passo 3

Vamos expressar a velocidade $ v $ em termos da vazão $ Q $. Sabemos que:
v
Onde $ A $ é a área da seção transversal do tubo. A área de um tubo circular é:
Q
Então, a velocidade pode ser escrita como:
Q = v cdot A

Passo 4

Substituindo a expressão da velocidade na equação de perda de carga, temos:
h = f cdot LD cdot ( 4Qpi D^2 )^22g
Simplificando essa expressão:
h = f cdot LD cdot 16Q^22pi^2 D^4 g
h = f cdot LD cdot 8Q^2pi^2 D^4 g
Ou seja:
h = 8fLQ^2pi^2 D^5 g

Passo 5

Como $ h_1 = h_2 $, podemos igualar as expressões das duas tubulações:
h1 = h2
Podemos simplificar cancelando termos comuns:
8f1L1Q1^2pi^2 D1^5 g = 8f2L2Q2^2pi^2 D2^5 g

Passo 6

Agora, vamos isolar $ Q_2 $:
Q2
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Q2^2 = Q1^2 cdot f1L1D2^5f2L2D1^5

Passo 7

Vamos substituir os valores conhecidos:
  • $ Q_1 = 0,056 , m^3/s $
  • $ f_1 = 0,032 $
  • $ L_1 = 1500 , m $
  • $ D_1 = 0,3 , m $ (300 mm convertido para metros)
  • $ L_2 = 3000 , m $
  • $ D_2 = 0,6 , m $ (600 mm convertido para metros)
Substituindo:
Q1 = 0,056 , m^3/s
Observando que, como as tubulações são semelhantes, podemos assumir que o fator de atrito $ f_2 = f_1 = 0,032 $.

Passo 8

Calculando os valores dentro da raiz:
Primeiro, calculamos $ D_2^5 $ e $ D_1^5 $:
D2^5
D1^5
Agora, substituímos:
D2^5 = 0,6^5 = 0,07776 , m^5
Simplificamos os termos:
D1^5 = 0,3^5 = 0,00243 , m^5
Calculando os numeradores e denominadores:
Q2 = 0,056 cdot raiz 0,032 cdot 1500 cdot 0,077760,032 cdot 3000 cdot 0,00243
Q2 = 0,056 cdot raiz 1500 cdot 0,077763000 cdot 0,00243
Então:
1500 cdot 0,07776 = 116,64

Passo 9

Sabemos que $ \sqrt{16} = 4 $, então:
raiz16 = 4

Resposta

A vazão transportada pela segunda tubulação é de 0,224 metros cúbicos por segundo.

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