Ligando-se em paralelo n resitências R1, R2, ldots ldots , Rn a resistência total R é dada por
1R=sumi=1^n 1Ri
Verifique que: partial Rpartial Ri=(RRi)^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre resistências ligadas em paralelo. Quando temos n resistores R1, R2, ldots, Rn conectados dessa forma, a resistência total R é dada por:
1R = sumi=1^n 1Ri
O que a gente precisa fazer aqui é encontrar como a resistência total R muda quando a resistência de um dos resistores, digamos Ri , muda. Mais especificamente, vamos calcular a derivada parcial de R em relação a Ri , que é partial Rpartial Ri , e mostrar que ela é igual a ( RRi )^2 .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que R depende de todos os Ri . A relação que temos é:
1R = sumi=1^n 1Ri
Para facilitar, vamos pensar em R como uma função de Ri : R(R1, R2, ldots, Rn) .

Passo 3

Agora, queremos saber como R muda quando apenas um Ri muda, mantendo os outros constantes. Para isso, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a Ri .
ddRi ( 1R ) = ddRi ( sumj=1^n 1Rj )

Passo 4

Vamos calcular cada lado da equação:
  • Do lado esquerdo, usamos a regra da cadeia para derivar 1R em relação a Ri :
ddRi ( 1R ) = -1R^2 cdot partial Rpartial Ri
  • Do lado direito, a derivada da soma só “apanha” o termo que envolve Ri , já que os outros são constantes quando diferenciamos em relação a Ri :
ddRi ( sumj=1^n 1Rj ) = ddRi ( 1Ri ) = -1Ri^2

Passo 5

Agora, igualamos os dois lados das derivadas:
-1R^2 cdot partial Rpartial Ri = -1Ri^2
Podemos multiplicar ambos os lados por -1 para simplificar:
1R^2 cdot partial Rpartial Ri = 1Ri^2
Agora, isolamos partial Rpartial Ri :
partial Rpartial Ri = R^2 cdot 1Ri^2 = ( RRi )^2

Resposta

Portanto, a derivada parcial de R em relação a Ri é:
partial Rpartial Ri = ( RRi )^2

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