Nas questões 20 a 36, calcule a derivada da função apresentada.
f(x)=5 ln ^2(3 x)+x+1

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=5l[ln(3x)r]^2+x+1
Aqui vamos usar regras básicas de derivação: a derivada de soma, a de constante, a regra do poder e a regra da cadeia, além da derivada de ln(u).

Passo 2

Como f é soma de três termos, sua derivada é
f'(x)=ddxl(5[ln(3x)]^2r)+ddx(x)+ddx(1)
Sabemos que ddx(x)=1 e ddx(1)=0.

Passo 3

Para derivar 5[ln(3x)]^2 aplicamos primeiro a regra do poder: se h(u)=u^2 então h'(u)=2u. Tomando u=ln(3x),
ddxl([ln(3x)]^2r) =2,ln(3x),ddxl(ln(3x)r)
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ddxl(5[ln(3x)]^2r) =5cdot2,ln(3x),ddxl(ln(3x)r)

Passo 4

Agora derivamos ln(3x). Pela regra da cadeia e a derivada de ln(u),
ddxl(ln(3x)r) =13xcdotddx(3x) =13xcdot3 =1x

Passo 5

Substituindo em f'(x):
f'(x) =5cdot2,ln(3x),1x+1+0 =10,ln(3x)x+1

Resposta

f'(x)=10,ln(3x)x+1

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