lii) lim x 0^+(sen(x))^tan (x)

Passo 1

O enunciado nos pede
limxto0^+l(sin(x)r)^tan(x)
O conteúdo envolve limites de forma indeterminada do tipo 0^0. Para resolver, vamos reescrever a expressão como exponencial e estudar o limite do expoente.

Passo 2

Reescrevendo em termos de função exponencial, temos
l(sin(x)r)^tan(x) =expl(tan(x),ln(sin(x))r)
Portanto
limxto0^+l(sin(x)r)^tan(x) =expl(limxto0^+tan(x),ln(sin(x))r)

Passo 3

Analisamos o limite
L=limxto0^+tan(x),ln(sin(x))
Note que tan(x)to0 e ln(sin(x))to-infty, caracterizando a forma 0cdot(-infty). Podemos usar a expansão em série de Taylor para cada fator.

Passo 4

Para xto0 valem as expansões
tan(x)=x+x^33+o(x^3), sin(x)=x-x^36+o(x^3)
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lnl(sin(x)r) =lnl(xl(1-tfracx^26+o(x^2)r)r) =ln(x)-x^26+o(x^2)
Multiplicando,
tan(x),ln(sin(x)) =l(x+o(x)r)l(ln(x)-tfracx^26+o(x^2)r) =xln(x)+o(xln x)
E sabemos que
limxto0^+xln(x)=0,
portanto L=0.

Passo 5

Substituindo de volta na exponencial,
limxto0^+l(sin(x)r)^tan(x) =exp(L) =exp(0) =1

Resposta

1

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