\lim _{h \rightarrow 0^{+}}(1+11 h)^{\frac{1}{h}}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede calcular o limite \displaystyle \lim_{h \to 0^{+}}(1+11h)^{\frac{1}{h}}.
  • Informação dada: a variável que tende a zero é h pela direita ( h\to0^{+}).
  • Objetivo: encontrar o valor desse limite (um número real).

Passo 2

Identificar a forma do limite e uma estratégia simples:
  • A expressão tem a forma (1+\text{algo})^{1/h}, mais precisamente (1+11h)^{1/h}.
  • Uma estratégia bem direta é fazer uma mudança de variável para reduzir ao limite padrão \displaystyle \lim_{x\to0}(1+x)^{1/x}=e. Vamos aplicar isso porque é rápido e elementar.

Passo 3

Fazer a substituição para ligar com o limite padrão:
  • Defina x=11h. Então, quando h\to0^{+} temos também x\to0^{+}.
  • Reescrevendo a expressão em função de x:
(1+11h)^{\frac{1}{h}}=(1+x)^{\frac{1}{h}}.
  • Como h=\dfrac{x}{11}, substituímos:
(1+11h)^{\frac{1}{h}}=(1+x)^{\frac{11}{x}}.

Passo 4

Separar a potência para usar o limite conhecido:
  • Observe que
(1+x)^{\frac{11}{x}}=\left((1+x)^{\frac{1}{x}}\right)^{11}.
  • Se soubermos que \displaystyle \lim_{x\to0}(1+x)^{1/x}=e, então pelo teorema do limite de composição e por continuidade da potência,
\lim_{x\to0}\left((1+x)^{\frac{1}{x}}\right)^{11} = \left(\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}\right)^{11}=e^{11}.

Passo 5

Breve justificativa do limite padrão (para ficar seguro): provar \displaystyle \lim_{x\to0}(1+x)^{1/x}=e
  • Seja L=\lim_{x\to0}(1+x)^{1/x} (se existir). Tome logaritmo natural:
\ln L=\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}.
  • A função \ln(1+x) tem derivada \dfrac{1}{1+x}. Aplicando l’Hôpital (forma 0/0) ou usando expansão \ln(1+x)\sim x quando x\to0, obtemos
\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1.
  • Logo \ln L=1, portanto L=e. Isso valida o uso do limite padrão no passo anterior.

Passo 6

Concluir o limite pedido e dar a resposta numérica simbólica:
  • Voltando à nossa variável original h, com a substituição feita e o resultado do passo anterior, concluímos
\lim_{h\to0^{+}}(1+11h)^{\frac{1}{h}}=e^{11}.
  • Motivação final rápida: a pequena variação 11h entra na base como 1+x com x\to0; a potência 1/h transforma-se numa potência que dá 11 vezes a potência padrão que converge para e.

Resposta

\mathrm{e}^{11}

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