Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede calcular o limite
. - Informação dada: a variável que tende a zero é
pela direita ( ). - Objetivo: encontrar o valor desse limite (um número real).
Passo 2
Identificar a forma do limite e uma estratégia simples:
- A expressão tem a forma
, mais precisamente . - Uma estratégia bem direta é fazer uma mudança de variável para reduzir ao limite padrão
. Vamos aplicar isso porque é rápido e elementar.
Passo 3
Fazer a substituição para ligar com o limite padrão:
- Defina
. Então, quando temos também . - Reescrevendo a expressão em função de
:
- Como
, substituímos:
Passo 4
Separar a potência para usar o limite conhecido:
- Observe que
- Se soubermos que
, então pelo teorema do limite de composição e por continuidade da potência,
Passo 5
Breve justificativa do limite padrão (para ficar seguro): provar
- Seja
(se existir). Tome logaritmo natural:
- A função
tem derivada . Aplicando l’Hôpital (forma ) ou usando expansão quando , obtemos
- Logo
, portanto . Isso valida o uso do limite padrão no passo anterior.
Passo 6
Concluir o limite pedido e dar a resposta numérica simbólica:
- Voltando à nossa variável original
, com a substituição feita e o resultado do passo anterior, concluímos
- Motivação final rápida: a pequena variação
entra na base como com ; a potência transforma-se numa potência que dá vezes a potência padrão que converge para .