\lim _{h \rightarrow 0} \frac{(t+h)^{3}-t^{3}}{h}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do seguinte limite:
\lim_{h \to 0}\frac{(t+h)^{3}-t^{3}}{h}.
Isso envolve o conceito de diferença quociente (ou derivada) de uma função potência. Vamos usar a expansão binomial de (t+h)^{3}.

Passo 2

Expandimos (t+h)^{3} pela fórmula do binômio de Newton:
(t+h)^{3} = t^{3} + 3t^{2}h + 3t\,h^{2} + h^{3}.

Passo 3

Subtraímos t^{3} no numerador:
(t+h)^{3} - t^{3} = 3t^{2}h + 3t\,h^{2} + h^{3}.

Passo 4

Fatoramos h no numerador e simplificamos com o denominador:
\frac{(t+h)^{3}-t^{3}}{h} = \frac{h\bigl(3t^{2} + 3t\,h + h^{2}\bigr)}{h} = 3t^{2} + 3t\,h + h^{2}.

Passo 5

Aplicamos o limite quando h \to 0. Os termos com fator h tendem a zero, restando
\lim_{h \to 0}\bigl(3t^{2} + 3t\,h + h^{2}\bigr) = 3t^{2}.

Resposta

3t^{2}

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