Usando a definição formal do limite, mostre que:
\lim _{x \rightarrow a} k=k, k=\text { const. }

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a definição formal de limite (ε–δ), que para qualquer constante k vale
\lim_{x\to a} k = k.
Aqui o conteúdo é a definição de limite de função em um ponto:
\text{Seja }f(x).\,\lim_{x\to a}f(x)=L
significa
\forall \varepsilon>0,\;\exists \delta>0\;\text{tal que, se }0<|x-a|<\delta,\;\text{então }|f(x)-L|<\varepsilon.ã

Passo 2

Definimos a função constante
f(x)=k
e queremos provar que o limite é L=k. Pela definição, dado \varepsilon>0, precisamos encontrar \delta>0 que satisfaça
0<|x-a|<\delta\quad\Longrightarrow\quad|f(x)-L|<\varepsilon.

Passo 3

Calculemos a diferença em valor absoluto:
|f(x)-L| = |k - k| = 0.
Como 0<\varepsilon, temos imediatamente 0<\varepsilon, ou seja,
|f(x)-L| = 0 < \varepsilon
para qualquer escolha de x\neq a.

Passo 4

Como a desigualdade |f(x)-L|<\varepsilon já é satisfeita sem depender de x, basta escolher qualquer \delta>0. Por exemplo, podemos tomar
\delta = 1.
Então, sempre que 0<|x-a|<\delta, teremos
|f(x)-L|=0<\varepsilon.

Passo 5

Concluímos que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 (por exemplo, \delta=1) tal que, se 0<|x-a|<\delta, então |f(x)-L|<\varepsilon. Assim, pela definição de limite,
\lim_{x\to a}k = k.

Resposta

\lim_{x\to a}k = k.

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