Usando a definição formal do limite, mostre que:
\lim _{x \rightarrow a} x=a

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição ε–δ de limite, que
\lim_{x\to a} x = a.
Aqui o conteúdo é a definição formal de limite de função em um ponto, e vamos aplicá-la ao caso f(x)=x quando x tende a a.

Passo 2

A definição formal diz: “ \lim_{x\to a}f(x)=L” se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que
0<|x-a|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-L|<\varepsilon.
No nosso caso, f(x)=x e L=a. Logo queremos garantir |x-a|<\varepsilon.

Passo 3

Dado qualquer \varepsilon>0, basta escolher \delta = \varepsilon.
Então, sempre que 0<|x-a|<\delta teremos
|f(x)-L| =|x-a| <\delta =\varepsilon,
que é exatamente o que a definição exige.

Passo 4

Como para todo \varepsilon>0 achamos um \delta>0 (no caso \delta=\varepsilon) que faz
0<|x-a|<\delta \;\Longrightarrow\; |x-a|<\varepsilon,
concluímos que de fato \lim_{x\to a} x = a.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\rightarrow a} x = a

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