Use a álgebra adequada e o Teorema 7.2.1 para determinar a transformada inversa de Laplace pedida.
L^-1s+1s^2+2

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de s+1s^2+2. Vamos usar linearidade e os pares fundamentais
Lcos(at) = tfracss^2+a^2 e Lsin(at) = tfracas^2+a^2.

Passo 2

Decompomos a função em frações mais simples:
s+1s^2+2 = ss^2+2 ;+;1s^2+2

Passo 3

No primeiro termo reconhecemos diretamente
tfracss^2+2 = tfracss^2+(raiz2)^2.
No segundo, usamos
1s^2+2 = 1raiz2,raiz2s^2+2,
para ajustar à forma tfracas^2+a^2 com a=raiz2.

Passo 4

Aplicando a transformada inversa nos dois termos:
L^-1ltfracss^2+2r = cosl(raiz2,tr),
L^-1ltfracraiz2s^2+2r = sinl(raiz2,tr),
e portanto
L^-1ltfrac1s^2+2r = tfrac1raiz2,sinl(raiz2,tr)

Passo 5

Somando os resultados pela linearidade, obtemos
f(t) = cosl(raiz2,tr) ;+;1raiz2,sinl(raiz2,tr)

Resposta

L^-1!ltfracs+1s^2+2r = cosl(raiz2,tr) + 1raiz2,sinl(raiz2,tr)

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