\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{3} y+y^{4}+x^{4}}{x^{3} y-x y^{3}}

Passo 1

O problema pede o valor do seguinte limite quando (x,y) tende a (0,0):
\lim_{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{3} y+y^{4}+x^{4}}{x^{3} y-x y^{3}}.
Informações dadas e observações imediatas:
\text{Numerador} = x^{3}y + y^{4} + x^{4},
\text{Denominador} = x^{3}y - x y^{3}.
Todos os termos têm grau total 4 (por exemplo, x^{3}y tem grau 3+1=4). O denominador se anula sempre que x=0 ou y=0 ou x=\pm y (pois x^{3}y-x y^{3}=x y(x^2-y^2)). O enunciado pede um único valor do limite; se encontrarmos caminhos de aproximação que dêem limites diferentes, concluímos que o limite não existe.

Passo 2

Estratégia usada (explicação didática): quando numerador e denominador são polinômios homogêneos do mesmo grau, uma técnica eficiente é aproximar (x,y) por retas através de y=kx (com k constante) e observar o comportamento em função de k. Isso transforma a expressão em uma função de k multiplicada por uma potência de x; se a potência de x cancela entre numerador e denominador, o limite ao longo dessa reta depende só de k. Se para dois valores diferentes de k obtivermos resultados diferentes, o limite total não existe. Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Substituo y=kx com k constante e x\to 0. Calculo cada termo em função de x e k:
x^{3}y = x^{3}(kx) = kx^{4},
y^{4} = (kx)^{4} = k^{4}x^{4},
x^{4} = x^{4}.
No denominador:
x^{3}y - x y^{3} = kx^{4} - x(kx)^{3} = kx^{4} - k^{3}x^{4} = x^{4}(k - k^{3}).
Portanto a razão fica (para x\neq 0):
\frac{x^{3} y+y^{4}+x^{4}}{x^{3} y-x y^{3}} = \frac{x^{4}(k + k^{4} + 1)}{x^{4}(k - k^{3})} = \frac{k + k^{4} + 1}{k - k^{3}}.
Posso factorar o denominador como k(1-k^{2}), então outra forma é
\frac{k + k^{4} + 1}{k(1-k^{2})}.
Isso mostra que, para retas y=kx com k tal que k\neq 0 e k\neq \pm1, o valor da expressão quando (x,y)\to(0,0) ao longo dessa reta é o número acima, que depende só de k.

Passo 4

A ideia agora é escolher dois valores de k que produzam resultados distintos. Vou calcular para k=\tfrac{1}{2} e para k=2.
Para k=\tfrac{1}{2}:
Calculo numerador e denominador da fórmula em k:
k + k^{4} + 1 = \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{16} + 1 = \frac{8+1+16}{16} = \frac{25}{16}.
k(1-k^{2}) = \tfrac{1}{2}\Big(1 - \tfrac{1}{4}\Big) = \tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{3}{4} = \tfrac{3}{8}.
Logo a razão é
\frac{\tfrac{25}{16}}{\tfrac{3}{8}} = \frac{25}{16}\cdot\frac{8}{3} = \frac{25}{6}.
Para k=2:
k + k^{4} + 1 = 2 + 16 + 1 = 19,
k(1-k^{2}) = 2(1-4) = 2(-3) = -6.
Logo a razão é
\frac{19}{-6} = -\frac{19}{6}.
Portanto, ao aproximar (x,y) por y=\tfrac{1}{2}x obtemos limite \tfrac{25}{6}, e ao aproximar por y=2x obtemos limite -\tfrac{19}{6}.

Passo 5

Por que isso basta para concluir? A definição do limite em \mathbb{R}^2 exige que todas as formas de aproximar (0,0) produzam o mesmo valor. Encontramos duas retas de aproximação que dão limites diferentes ( \tfrac{25}{6} e -\tfrac{19}{6}), logo o limite não pode existir. Observação: algumas retas especiais ( k=0 ou k=\pm1) anulam o denominador; nelas a função não está definida próximo do ponto, mas não precisamos dessas para concluir — basta a dependência de k que mostrou valores diferentes para diferentes caminhos.

Resposta

O limite não existe.

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