Passo 1
O problema pede o valor do seguinte limite quando
tende a
:
Informações dadas e observações imediatas:
Todos os termos têm grau total
(por exemplo,
tem grau
). O denominador se anula sempre que
ou
ou
(pois
). O enunciado pede um único valor do limite; se encontrarmos caminhos de aproximação que dêem limites diferentes, concluímos que o limite não existe.
Passo 2
Estratégia usada (explicação didática): quando numerador e denominador são polinômios homogêneos do mesmo grau, uma técnica eficiente é aproximar
por retas através de
(com
constante) e observar o comportamento em função de
. Isso transforma a expressão em uma função de
multiplicada por uma potência de
; se a potência de
cancela entre numerador e denominador, o limite ao longo dessa reta depende só de
. Se para dois valores diferentes de
obtivermos resultados diferentes, o limite total não existe. Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Substituo
com
constante e
. Calculo cada termo em função de
e
:
No denominador:
Portanto a razão fica (para
):
Posso factorar o denominador como
, então outra forma é
Isso mostra que, para retas
com
tal que
e
, o valor da expressão quando
ao longo dessa reta é o número acima, que depende só de
.
Passo 4
A ideia agora é escolher dois valores de
que produzam resultados distintos. Vou calcular para
e para
.
Para
:
Calculo numerador e denominador da fórmula em :
Calculo numerador e denominador da fórmula em
Logo a razão é
Para
:
Logo a razão é
Portanto, ao aproximar
por
obtemos limite
, e ao aproximar por
obtemos limite
.
Passo 5
Por que isso basta para concluir? A definição do limite em
exige que todas as formas de aproximar
produzam o mesmo valor. Encontramos duas retas de aproximação que dão limites diferentes (
e
), logo o limite não pode existir. Observação: algumas retas especiais (
ou
) anulam o denominador; nelas a função não está definida próximo do ponto, mas não precisamos dessas para concluir — basta a dependência de
que mostrou valores diferentes para diferentes caminhos.
Resposta
O limite não existe.