Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas e o que é pedido:
- A função considerada é
. - O ponto de interesse é
. - Devemos encontrar o valor do limite quando ambos
e tendem simultaneamente a . - Observação: a expressão
não está definida em pela escrita direta, mas isso não impede de falar sobre o limite quando .
Passo 2
Ideia útil (sem resolver ainda): a expressão é produto de duas partes, uma que depende só de
,
, e outra que depende só de
,
. Se eu conseguir mostrar que os limites separados existem quando
, então o limite do produto será o produto dos limites. Vamos tratar cada fator separadamente.
Passo 3
Limite do fator que depende só de
:
Explicação didática: quando
a coordenada
tende a
. A função
é polinomial em
e, portanto, contínua. Para funções contínuas, o limite ao aproximar a variável é só o valor no ponto. Logo
Intuição simples:
fica muito pequeno quando
é pequeno, então
fica bem perto de
.
Passo 4
Limite do fator que depende só de
:
Como
implica
, esse limite é o mesmo que o limite univariado
. Esse é um limite clássico. Vou mostrar uma prova curta baseada no Teorema do Confronto (squeeze theorem):
Para
em
vale a desigualdade geométrica bem conhecida
Dividindo tudo por
(positivo nesse intervalo) obtemos
Como
, pelo Teorema do Confronto segue que
Para
negativo, a função
é par (mesmo valor para
e
), então o limite também é
. Portanto,
Passo 5
Aplicando o teorema do produto de limites em duas variáveis: se
e
existem e são finitos, então
Aqui já mostramos que
Portanto pelo produto de limites,