\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}\left(1+y^{2}\right) \frac{\operatorname{sen} x}{x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\left(1+y^{2}\right)\frac{\operatorname{sen} x}{x}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A função considerada é \displaystyle f(x,y)=\left(1+y^{2}\right)\frac{\operatorname{sen} x}{x}.
  • O ponto de interesse é (x,y)\to(0,0).
  • Devemos encontrar o valor do limite quando ambos x e y tendem simultaneamente a 0.
  • Observação: a expressão \frac{\operatorname{sen} x}{x} não está definida em x=0 pela escrita direta, mas isso não impede de falar sobre o limite quando x\to0.

Passo 2

Ideia útil (sem resolver ainda): a expressão é produto de duas partes, uma que depende só de y, \displaystyle 1+y^{2}, e outra que depende só de x, \displaystyle \frac{\operatorname{sen} x}{x}. Se eu conseguir mostrar que os limites separados existem quando (x,y)\to(0,0), então o limite do produto será o produto dos limites. Vamos tratar cada fator separadamente.

Passo 3

Limite do fator que depende só de y:
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\left(1+y^{2}\right).
Explicação didática: quando (x,y)\to(0,0) a coordenada y tende a 0. A função g(y)=1+y^{2} é polinomial em y e, portanto, contínua. Para funções contínuas, o limite ao aproximar a variável é só o valor no ponto. Logo
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\left(1+y^{2}\right)=1+0^{2}=1.
Intuição simples: y^{2} fica muito pequeno quando y é pequeno, então 1+y^{2} fica bem perto de 1.

Passo 4

Limite do fator que depende só de x:
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\operatorname{sen} x}{x}.
Como (x,y)\to(0,0) implica x\to0, esse limite é o mesmo que o limite univariado \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen} x}{x}. Esse é um limite clássico. Vou mostrar uma prova curta baseada no Teorema do Confronto (squeeze theorem):
Para x em (0,\tfrac{\pi}{2}] vale a desigualdade geométrica bem conhecida
\operatorname{sen} x < x < \tan x.
Dividindo tudo por x\operatorname{sen} x (positivo nesse intervalo) obtemos
\cos x < \frac{\operatorname{sen} x}{x} < 1.
Como \displaystyle \lim_{x\to0}\cos x=1, pelo Teorema do Confronto segue que
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen} x}{x}=1.
Para x negativo, a função \frac{\operatorname{sen} x}{x} é par (mesmo valor para x e -x), então o limite também é 1. Portanto,
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\operatorname{sen} x}{x}=1.

Passo 5

Aplicando o teorema do produto de limites em duas variáveis: se \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}A(x,y)=L e \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}B(x,y)=M existem e são finitos, então
\lim_{(x,y)\to(0,0)}A(x,y)B(x,y)=LM.
Aqui já mostramos que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\left(1+y^{2}\right)=1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\operatorname{sen} x}{x}=1.
Portanto pelo produto de limites,
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\left(1+y^{2}\right)\frac{\operatorname{sen} x}{x}=1\cdot 1=1.

Resposta

1

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