Questão 1: Considere a sequência
\left\{\frac{1}{9}, \frac{2}{12}, \frac{4}{15}, \frac{8}{18}, \frac{16}{21}, \ldots\right\}
a) Assumindo que o padrão da sequência se mantenha, determine uma fórmula geral para o n-ésimo termo da sequência.
b) Determine se essa sequência converge ou diverge. Se convergir, determine seu limite.
c) A sequência é limitada?
d) Determine se a série da soma dos termos dessa sequência converge ou diverge. Se ela convergir, determine a sua soma.

Passo 1

O enunciado dá a sequência
\left\{\frac{1}{9}, \frac{2}{12}, \frac{4}{15}, \frac{8}{18}, \frac{16}{21}, \ldots\right\}
e pede:
a) fórmula geral a_n;
b) convergência/divergência de \{a_n\} e seu limite;
c) se \{a_n\} é limitada;
d) convergência/divergência da série \sum a_n e, em caso afirmativo, sua soma.
Para resolver vamos usar: reconhecimento de padrão, cálculo de limite de sequência, definição de sequência limitada e teste do termo geral para séries.

Passo 2

Observando o padrão dos termos:
– Numeradores: 1,2,4,8,16,\dots são potências de 2, ou seja 2^{n-1}.
– Denominadores: 9,12,15,18,21,\dots formam uma progressão aritmética de razão 3 e primeiro termo 9=3\cdot3, logo o n-ésimo é 3(n+2).
Portanto
a_n = \frac{2^{n-1}}{3\,(n+2)}.

Passo 3

Para estudar a convergência, note que o numerador cresce exponencialmente e o denominador cresce apenas linearmente. Assim
\lim_{n\to\infty}a_n =\lim_{n\to\infty}\frac{2^{n-1}}{3\,(n+2)} =+\infty.
Como o limite não é finito, a sequência \{a_n\} diverge para +\infty.

Passo 4

Uma sequência é limitada se existir M>0 tal que |a_n|\le M para todo n. Aqui a_n>0 para todo n e a_n\to+\infty, logo não há nenhum M que sirva de limite superior. Concluímos que \{a_n\} não é limitada.

Passo 5

Para a série de termos positivos \sum_{n=1}^{\infty}a_n, um teste necessário à convergência é que a_n\to0. Como acabamos de ver
\lim_{n\to\infty}a_n=+\infty\neq0,
essa condição nem sequer é satisfeita. Logo a série diverge.

Resposta

(a) \displaystyle a_n = \frac{2^{n-1}}{3\,(n+2)}.
(b) A sequência diverge, \lim_{n\to\infty}a_n=+\infty.
(c) A sequência não é limitada.
(d) A série \sum_{n=1}^\infty a_n diverge (pois a_n\not\to0).

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