Questão 1: Considere a sequência
a) Assumindo que o padrão da sequência se mantenha, determine uma fórmula geral para o
-ésimo termo da sequência.
b) Determine se essa sequência converge ou diverge. Se convergir, determine seu limite.
c) A sequência é limitada?
d) Determine se a série da soma dos termos dessa sequência converge ou diverge. Se ela convergir, determine a sua soma.
b) Determine se essa sequência converge ou diverge. Se convergir, determine seu limite.
c) A sequência é limitada?
d) Determine se a série da soma dos termos dessa sequência converge ou diverge. Se ela convergir, determine a sua soma.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede:
a) fórmula geral ;
b) convergência/divergência de e seu limite;
c) se é limitada;
d) convergência/divergência da série e, em caso afirmativo, sua soma.
Para resolver vamos usar: reconhecimento de padrão, cálculo de limite de sequência, definição de sequência limitada e teste do termo geral para séries.
a) fórmula geral
b) convergência/divergência de
c) se
d) convergência/divergência da série
Para resolver vamos usar: reconhecimento de padrão, cálculo de limite de sequência, definição de sequência limitada e teste do termo geral para séries.
Passo 2
Observando o padrão dos termos:
– Numeradores: são potências de 2, ou seja
.
– Denominadores: formam uma progressão aritmética de razão
e primeiro termo
, logo o
-ésimo é
.
Portanto
– Numeradores:
– Denominadores:
Portanto
Passo 3
Para estudar a convergência, note que o numerador cresce exponencialmente e o denominador cresce apenas linearmente. Assim
Como o limite não é finito, a sequência
diverge para
.
Passo 4
Uma sequência é limitada se existir
tal que
para todo
. Aqui
para todo
e
, logo não há nenhum
que sirva de limite superior. Concluímos que
não é limitada.
Passo 5
Para a série de termos positivos
, um teste necessário à convergência é que
. Como acabamos de ver
essa condição nem sequer é satisfeita. Logo a série diverge.
Resposta
(a)
.
(b) A sequência diverge, .
(c) A sequência não é limitada.
(d) A série diverge (pois
).
(b) A sequência diverge,
(c) A sequência não é limitada.
(d) A série