\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{3}}{x^{2}+4}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite:
\lim_{x \to 1} \frac{x^{3}}{x^{2}+4}.
Informações dadas:
  • A função cujo limite queremos é \displaystyle \frac{x^{3}}{x^{2}+4}.
  • O ponto de aproximação é x\to 1.
  • Não há outras restrições no enunciado.

Passo 2

O que significa calcular \displaystyle \lim_{x\to 1} f(x)? Significa analisar o comportamento dos valores de f(x) quando x se aproxima de 1 (por valores menores e maiores que 1), e verificar qual valor os f(x) tendem a assumir. Esse valor pode ou não ser igual a f(1); porém, se a função for contínua em 1, então o limite é justamente f(1).
Uma regra prática muito útil (e frequentemente usada em provas) é: polinômios são contínuos em todo lugar; quociente de funções contínuas é contínuo no ponto em que o denominador não é zero. Em outras palavras, se p(x) e q(x) são polinômios e q(1)\neq 0, então
\lim_{x\to 1} \frac{p(x)}{q(x)} = \frac{p(1)}{q(1)}.
Aqui temos p(x)=x^3 e q(x)=x^2+4, ambos polinômios, logo podemos aplicar essa propriedade desde que q(1)\neq 0.

Passo 3

Verificamos o denominador em x=1:
q(1)=1^{2}+4.
Calcule passo a passo: 1^{2}=1, então
q(1)=1+4=5.
Como 5\neq 0, a condição para usar a substituição direta está satisfeita.

Passo 4

Agora calculamos p(1) e o quociente:
p(1)=1^{3}=1.
Portanto, pelo argumento de continuidade,
\lim_{x\to 1} \frac{x^{3}}{x^{2}+4} = \frac{p(1)}{q(1)} = \frac{1}{5}.
Explicando a conta: numerador 1^{3}=1; denominador 1^{2}+4=5; então o quociente é \tfrac{1}{5}.
Intuição final rápida (para ficar seguro): se x está muito perto de 1, então x^{3} estará muito perto de 1 e x^{2}+4 estará muito perto de 5; a razão desses valores ficará muito perto de \tfrac{1}{5}. Isso confirma a substituição direta.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{5}

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