a) \lim _{t \rightarrow 2} \frac{\sqrt{t{6}}-8}{\sqrt[3]{t{6}}-4}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{t\to2} \frac{\sqrt{t^{6}}-8}{\sqrt[3]{t^{6}}-4}
O conteúdo envolvido é limites de função com raízes e vamos precisar usar propriedades de potências e fatoração de diferenças de potências (cúbica e quadrática) para simplificar a expressão.

Passo 2

Perceba que, para t próximo de 2 (positivos), \sqrt{t^{6}} = |t^3| = t^3 e \sqrt[3]{t^{6}} = (t^6)^{1/3} = t^2.
Logo a expressão original vira
\frac{t^3 - 8}{t^2 - 4}.

Passo 3

Agora fatoramos numerador e denominador usando diferença de cubos e diferença de quadrados:
t^3 - 8 = (t-2)(t^2 + 2t + 4),
t^2 - 4 = (t-2)(t+2).
Substituindo, obtemos
\frac{t^3 - 8}{t^2 - 4} = \frac{(t-2)(t^2+2t+4)}{(t-2)(t+2)} = \frac{t^2+2t+4}{t+2},
pois podemos cancelar o fator (t-2) (para t\neq2).

Passo 4

Com a forma simplificada, basta agora substituir t=2:
\frac{t^2+2t+4}{t+2}\Big|_{t=2} = \frac{2^2 + 2\cdot2 + 4}{2 + 2} = \frac{4 + 4 + 4}{4} = \frac{12}{4} = 3.

Resposta

3

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