Verifique se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{2^{k}}{3^{k}+1}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série de termos positivos
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{2^{k}}{3^{k}+1}.
O conteúdo aqui é teste de convergência para séries de termos positivos, e vamos usar o teste da comparação com uma série geométrica.

Passo 2

Observamos que, para todo k\ge1,
3^{k}+1 \ge 3^{k},
logo
\frac{2^{k}}{3^{k}+1} \le \frac{2^{k}}{3^{k}} = \Bigl(\frac{2}{3}\Bigr)^{k}.

Passo 3

A série geométrica
\sum_{k=0}^{\infty} \Bigl(\frac{2}{3}\Bigr)^{k}
converge porque a razão \tfrac{2}{3} satisfaz \bigl|\tfrac{2}{3}\bigr|<1.

Passo 4

Pelo teste da comparação, como
0 \le \frac{2^{k}}{3^{k}+1} \le \Bigl(\frac{2}{3}\Bigr)^{k}
e a série majorante converge, concluímos que
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{2^{k}}{3^{k}+1}
também converge.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados