Verifique se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\cos (k \pi)}{k}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\cos(k\pi)}{k}.
Note que em k=0 teríamos \frac{\cos(0)}{0}=\frac{1}{0}, que não faz sentido, então na prática consideramos a série a partir de k=1.
O conteúdo aqui é séries numéricas, em particular séries de termos alternados, e vamos usar o teste de Leibniz.

Passo 2

Observamos que \cos(k\pi)=(-1)^k. Portanto o termo geral fica
\frac{\cos(k\pi)}{k} \;=\;\frac{(-1)^k}{k},
e a série é
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k},
que é a clássica série harmônica alternada.

Passo 3

Aplicamos o teste de Leibniz para séries alternadas.
Definimos a_k=\tfrac1{k}. Então:
  1. a_k>0 para todo k.
  2. a_{k+1}=\tfrac1{k+1}<\tfrac1{k}=a_k, ou seja, (a_k) é decrescente.
  3. \displaystyle \lim_{k\to\infty}a_k=\lim_{k\to\infty}\frac1{k}=0.
    Como todas as condições do teste de Leibniz são satisfeitas, a série alternada converge.

Passo 4

Agora, para verificar a convergência absoluta, olhamos a série dos módulos:
\sum_{k=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^k}{k}\right| =\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{k}.
Essa é a série harmônica, que é bem conhecido que diverge. Logo a nossa série não converge absolutamente.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\frac{\cos(k\pi)}{k} converge condicionalmente (converge pelo teste de Leibniz, mas diverge em valor absoluto).

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