lim x 2 x^3-2 x^2+3 x-6x-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x 2 x^3-2 x^2+3 x-6x-2. Esse exercício está na matéria de Cálculo, mais especificamente em limites. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre polinômios e como simplificar frações algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir x = 2 diretamente na expressão para ver o que acontece:
2^3 - 2 cdot 2^2 + 3 cdot 2 - 62 - 2 = 8 - 8 + 6 - 60 = 00
Aconteceu uma forma indeterminada $ \frac{0}{0} $, então precisamos simplificar a expressão para encontrar o valor do limite.

Passo 3

Como ambos o numerador e o denominador dão zero quando x = 2, sabemos que x - 2 é um fator do numerador. Vamos fatorar o polinômio do numerador x^3-2 x^2+3 x-6 usando a divisão polinomial ou o Teorema do Resto.
Dividindo x^3-2 x^2+3 x-6 por x - 2, encontramos que:
x^3-2 x^2+3 x-6 = (x - 2)(x^2 + 0x + 3)
Então, a expressão original fica:
(x - 2)(x^2 + 3)x - 2

Passo 4

Agora, podemos cancelar o fator x - 2 no numerador e no denominador:
(x - 2)(x^2 + 3)x - 2 = x^2 + 3 (para x neq 2)
Assim, a expressão simplificada para o limite é x^2 + 3.

Passo 5

Com a expressão simplificada, calculamos o limite substituindo x = 2:
lim x 2 (x^2 + 3) = 2^2 + 3 = 4 + 3 = 7

Resposta

O limite é igual a 7.

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