lim x 2 x^3+2 x^2-3 x-10x^4-16

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite limx to 2 x^3+2x^2-3x-10x^4-16. O conteúdo principal aqui é limite de função racional com forma indeterminada 0/0, e vamos precisar usar fatoração de polinômios para simplificar a expressão.

Passo 2

Ao tentar a substituição direta x=2, o numerador fica 2^3+2cdot2^2-3cdot2-10 = 8+8-6-10 = 0 e o denominador fica 2^4-16 = 16-16 = 0, resultando na forma indeterminada 0/0. Isso indica que devemos fatorar numerador e denominador para cancelar o fator comum.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador. Usando divisão sintética ou agrupamento, encontramos:
x^3+2x^2-3x-10 = (x-2)(x^2 + 4x +5)

Passo 4

Agora fatoramos o denominador:
x^4-16 = (x^2-4)(x^2+4) = (x-2)(x+2)(x^2+4)
Ao cancelar o fator comum (x-2), a expressão simplifica para x^2+4x+5(x+2)(x^2+4).

Passo 5

Com a expressão simplificada, podemos fazer x to 2 sem indeterminação: numerador = 2^2+4cdot2+5 = 17; denominador = (2+2)(2^2+4) = 4cdot8 = 32. Portanto o limite é 1732.

Resposta

\frac{17}{32}

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