lim z -4 z^2+9 z+20z^2+6 z+8

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limzto -4z^2+9z+20z^2+6z+8. O conteúdo é de limites de funções racionais, e vamos precisar usar fatoração de polinômios e o teorema de continuidade (substituição direta) após simplificar a expressão.

Passo 2

Ao tentar a substituição direta z=-4 na expressão z^2+9z+20z^2+6z+8, obtemos a forma indeterminada 0/0. Para eliminar essa indeterminação, precisamos fatorar numerador e denominador.
Fatore o numerador e o denominador da seguinte forma:
z^2 + 9z + 20 = (z+5)(z+4)
z^2 + 6z + 8 = (z+2)(z+4)

Passo 3

Cancele o fator comum (z+4) e obtenha a função simplificada:
z^2 + 9z + 20z^2 + 6z + 8 = (z+5)(z+4)(z+2)(z+4) = z+5z+2, (zneq -4)
Agora essa nova função é contínua em z=-4, então podemos usar substituição direta.
Substitua z=-4 em z+5z+2:
-4+5-4+2 = 1-2 = -tfrac12

Resposta

-\tfrac{1}{2}

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