lim x 0^--x cdot ln (sin (x)x-1)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 0 pela esquerda ($ x \rightarrow 0^{-} $) da expressão:
x
Nesse exercício, vamos usar conceitos de limites, funções logarítmicas e propriedades das funções trigonométricas. Precisaremos saber como se comporta o seno de $ x $ quando $ x $ está próximo de 0 e como manipular expressões logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo:
sin(x)x - 1
Sabemos que quando $ x $ se aproxima de 0, $ \frac{\sin(x)}{x} $ se aproxima de 1. Portanto, a expressão dentro do logaritmo está se aproximando de 0.

Passo 3

Para facilitar, vamos chamar $ \frac{\sin(x)}{x} $ de $ f(x) $. Então temos:
sin(x)x
Sabemos que $ f(x) $ se aproxima de 1 quando $ x $ se aproxima de 0. Assim:
f(x)
Quando $ x $ está próximo de 0, podemos usar a expansão de Taylor para $ \sin(x) $:
sin(x)x = f(x)
Então:
f(x)
Portanto:
x

Passo 4

Agora, substituindo essa aproximação na expressão original:
- x cdot ln(-x^26)
Note que $ x $ está se aproximando de 0 pela esquerda, ou seja, $ x $ é negativo. Assim, $ x^2 $ é positivo, e $ -\frac{x^2}{6} $ é negativo. Como o logaritmo de um número negativo não está definido nos números reais, precisamos considerar que a expressão original tende a $ -\infty $ dentro do logaritmo.

Passo 5

Para resolver corretamente, devemos considerar o limite de uma forma que evite o logaritmo de um número negativo. Vamos reavaliar a aproximação:
sin(x)x - 1 approx -x^26
Como estamos trabalhando com valores negativos de $ x $, podemos escrever:
x
Portanto, a expressão se torna:
ln|sin(x)x - 1| = ln(x^26) = ln(x^2) - ln(6) = 2ln|x| - ln(6)

Passo 6

Agora, vamos dividir essa expressão:
-2x ln|x| + x ln(6)
Analisando o primeiro termo, $ -2x \ln|x| $, sabemos que quando $ x $ tende a 0, $ x \ln|x| $ tende a 0. O segundo termo, $ x \ln(6) $, também tende a 0 porque $ x $ tende a 0.

Passo 7

Portanto, somando os dois termos que tendem a 0, concluímos que o limite total é:
0

Resposta

O limite é igual a 0.

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