Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 0 pela esquerda ($ x \rightarrow 0^{-} $) da expressão:
Nesse exercício, vamos usar conceitos de limites, funções logarítmicas e propriedades das funções trigonométricas. Precisaremos saber como se comporta o seno de $ x $ quando $ x $ está próximo de 0 e como manipular expressões logarítmicas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo:
Sabemos que quando $ x $ se aproxima de 0, $ \frac{\sin(x)}{x} $ se aproxima de 1. Portanto, a expressão dentro do logaritmo está se aproximando de 0.
Passo 3
Para facilitar, vamos chamar $ \frac{\sin(x)}{x} $ de $ f(x) $. Então temos:
Sabemos que $ f(x) $ se aproxima de 1 quando $ x $ se aproxima de 0. Assim:
Quando $ x $ está próximo de 0, podemos usar a expansão de Taylor para $ \sin(x) $:
Então:
Portanto:
Passo 4
Agora, substituindo essa aproximação na expressão original:
Note que $ x $ está se aproximando de 0 pela esquerda, ou seja, $ x $ é negativo. Assim, $ x^2 $ é positivo, e $ -\frac{x^2}{6} $ é negativo. Como o logaritmo de um número negativo não está definido nos números reais, precisamos considerar que a expressão original tende a $ -\infty $ dentro do logaritmo.
Passo 5
Para resolver corretamente, devemos considerar o limite de uma forma que evite o logaritmo de um número negativo. Vamos reavaliar a aproximação:
Como estamos trabalhando com valores negativos de $ x $, podemos escrever:
Portanto, a expressão se torna:
Passo 6
Agora, vamos dividir essa expressão:
Analisando o primeiro termo, $ -2x \ln|x| $, sabemos que quando $ x $ tende a 0, $ x \ln|x| $ tende a 0. O segundo termo, $ x \ln(6) $, também tende a 0 porque $ x $ tende a 0.
Passo 7
Portanto, somando os dois termos que tendem a 0, concluímos que o limite total é:
Resposta
O limite é igual a 0.