Se lim x 4 f(x)+2=0 e 4 x-18 <= raiz[3]4 m-n f(x) <= x^2-4 x-2, forall x>0 É possível concluir que:
2 m-n+4=0

Passo 1

O enunciado diz que limxto4f(x)+2=0, ou seja, f(x)to-2 quando xto4. Além disso temos uma desigualdade de “congelamento” (teorema do sanduíche) para todo x>0:
4x-18;<=;raiz[3]4m - n f(x);<=;x^2 - 4x - 2
Vamos usar limites e o teorema do sanduíche para achar a relação entre m e n.

Passo 2

Como as funções laterais da desigualdade são 4x-18 e x^2-4x-2, computamos seus limites quando xto4:
limxto4(4x-18)=16-18=-2, limxto4(x^2-4x-2)=16-16-2=-2
Pelo teorema do sanduíche, a função do meio também tem limite -2 em x=4. Logo:
limxto4raiz[3]4m - n f(x)=-2

Passo 3

Como f(x)to-2, temos
limxto4(4m - n f(x))=4m - n,(-2)=4m+2n
e
raiz[3]4m+2n=-2implies 4m+2n=(-2)^3=-8implies 2m+n=-4implies 2m+n+4=0

Resposta

2m + n + 4 = 0

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