lim x 1^+ ln x tan (pi x / 2)

Passo 1

O enunciado pede
limxto1^+ln x;tan!l(tfracpi x2r),
que é uma forma indeterminada do tipo 0cdotinfty. Vamos usar expansão assintótica (equivalentes para pequenas quantidades) para resolver.

Passo 2

Faça a mudança de variável
x = 1+de<a, de<ato0^+
Então
ln x = ln(1+de<a),
e
tan!l(tfracpi x2r) = tan!l(tfracpi2+tfracpide<a2r) = -cot!l(tfracpide<a2r)

Passo 3

Para de<ato0 vale o desenvolvimento
ln(1+de<a)sim de<a

Passo 4

Para thetato0 temos cotthetasim1/theta. Assim, tomando theta=tfracpide<a2,
cot!l(tfracpide<a2r)sim 1tfracpide<a2 = 2pide<a,
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tan!l(tfracpi x2r)sim -2pide<a

Passo 5

Multiplicando as equivalências
ln(1+de<a);tan!l(tfracpi x2r) sim de<a;l(-tfrac2pide<ar) = -tfrac2pi,
e concluímos que a expressão original tende a este valor constante.

Resposta

-tfrac2pi

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