1. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{5+2 n}{\left(1+n^{2}\right)^{2}}

Passo 1

Enunciado: analisar a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5+2n}{\left(1+n^{2}\right)^{2}}.
O que nos pedem (interpretação): decidir se a série converge ou diverge e, se possível, caracterizar o tipo de convergência (convergência absoluta ou condicional). Informações relevantes dadas:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{5+2n}{(1+n^2)^2}.
  • Para n grande, o numerador cresce como 2n e o denominador cresce como n^4, então intuitivamente a_n deve decair parecido com uma ordem 1/n^3.

Passo 2

Ferramenta principal que vamos usar: teste da série p (p-series) e o teste da comparação (neste caso o teste da comparação por limite).
Lembrete rápido do teste p:
  • A série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{p}} converge se, e somente se, p>1.
    Exemplo simples: \sum 1/n^2 converge (pois p=2>1), \sum 1/n diverge (pois p=1).
Lembrete do teste da comparação por limite:
  • Se a_n>0 e b_n>0 para todo n e
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}
existe com 0<L<\infty, então \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento (ou ambas convergem ou ambas divergem).

Passo 3

Escolha de b_n: pelo comportamento assintótico observado, escolhemos
b_n=\frac{1}{n^{3}},
que é uma p-série com p=3>1, logo \sum b_n converge. Vamos aplicar o teste da comparação por limite com a_n e b_n.

Passo 4

Cálculo do limite do quociente a_n/b_n. Escrevemos
\frac{a_n}{b_n} = \frac{\dfrac{5+2n}{(1+n^2)^2}}{\dfrac{1}{n^{3}}} = n^{3}\,\frac{5+2n}{(1+n^2)^2}.
Agora calculamos o limite quando n\to\infty. Para isso, dividimos numerador e denominador por n^{4} (a maior potência aparente):
\lim_{n\to\infty} n^{3}\,\frac{5+2n}{(1+n^2)^2} = \lim_{n\to\infty}\frac{5n^{3}+2n^{4}}{(n^2+1)^2} = \lim_{n\to\infty}\frac{2 + 5/n}{(1+1/n^2)^2}.
Passando ao limite n\to\infty obtemos
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}= \frac{2+0}{(1+0)^2}=2.
Logo o limite existe e é finito e positivo ( L=2).

Passo 5

Conclusão pelo teste da comparação por limite: como 0<L<\infty e \sum b_n=\sum 1/n^3 converge (p-série com p=3>1), segue que \sum a_n converge também.
Observação adicional (comparação direta, alternativa mais elementar): para n\ge 1 tem-se 5+2n\le 7n e (1+n^2)^2\ge n^4, então
0\le a_n=\frac{5+2n}{(1+n^2)^2}\le \frac{7n}{n^4}=\frac{7}{n^3}.
Como \sum 7/n^3 converge, por comparação direta a série \sum a_n converge. Isso confirma o resultado anterior.

Passo 6

Tipo de convergência: todos os termos a_n são positivos, então convergência da série \sum a_n implica convergência absoluta (não existe questão de sinais alternados aqui). Assim a série converge absolutamente.
Um empurrão final: você pode usar o método do limite (como fizemos) sempre que suspeitar que o termo geral tem comportamento assintótico parecido com uma p-série; é uma técnica rápida e segura na prova quando o numerador e denominador são polinômios em n.

Resposta

A série converge absolutamente.

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