Passo 1
Enunciado: analisar a série
O que nos pedem (interpretação): decidir se a série converge ou diverge e, se possível, caracterizar o tipo de convergência (convergência absoluta ou condicional). Informações relevantes dadas:
- O termo geral é
. - Para
grande, o numerador cresce como e o denominador cresce como , então intuitivamente deve decair parecido com uma ordem .
Passo 2
Ferramenta principal que vamos usar: teste da série
(p-series) e o teste da comparação (neste caso o teste da comparação por limite).
Lembrete rápido do teste
:
- A série
converge se, e somente se, .
Exemplo simples:converge (pois ), diverge (pois ).
Lembrete do teste da comparação por limite:
- Se
e para todo e
existe com
, então
e
têm o mesmo comportamento (ou ambas convergem ou ambas divergem).
Passo 3
Escolha de
: pelo comportamento assintótico observado, escolhemos
que é uma p-série com
, logo
converge. Vamos aplicar o teste da comparação por limite com
e
.
Passo 4
Cálculo do limite do quociente
. Escrevemos
Agora calculamos o limite quando
. Para isso, dividimos numerador e denominador por
(a maior potência aparente):
Passando ao limite
obtemos
Logo o limite existe e é finito e positivo (
).
Passo 5
Conclusão pelo teste da comparação por limite: como
e
converge (p-série com
), segue que
converge também.
Observação adicional (comparação direta, alternativa mais elementar): para
tem-se
e
, então
Como
converge, por comparação direta a série
converge. Isso confirma o resultado anterior.
Passo 6
Tipo de convergência: todos os termos
são positivos, então convergência da série
implica convergência absoluta (não existe questão de sinais alternados aqui). Assim a série converge absolutamente.
Um empurrão final: você pode usar o método do limite (como fizemos) sempre que suspeitar que o termo geral tem comportamento assintótico parecido com uma p-série; é uma técnica rápida e segura na prova quando o numerador e denominador são polinômios em
.
Resposta
A série converge absolutamente.