Se \lim x_{n}=a e \lim y_{n}=b, prove as seguintes afirmações:
\lim \left(x_{n} \pm y_{n}\right)=a \pm b

Passo 1

O enunciado diz que temos duas sequências \{x_n\} e \{y_n\} tais que
\lim_{n\to\infty}x_n = a \quad\text{e}\quad \lim_{n\to\infty}y_n = b.
O que queremos mostrar é que
\lim_{n\to\infty}\bigl(x_n + y_n\bigr) = a + b \quad\text{e}\quad \lim_{n\to\infty}\bigl(x_n - y_n\bigr) = a - b.
Para isso vamos usar a definição de limite de sequência (com \varepsilon N) e a desigualdade triangular.

Passo 2

Prova para a soma. Seja arbitrário \varepsilon>0. Como \lim x_n = a, existe N_1\in\mathbb{N} tal que para todo n\ge N_1
\lvert x_n - a\rvert < \frac{\varepsilon}{2}.
Como \lim y_n = b, existe N_2\in\mathbb{N} tal que para todo n\ge N_2
\lvert y_n - b\rvert < \frac{\varepsilon}{2}.
Defina N = \max\{N_1,N_2\}. Então, para todo n\ge N, temos simultaneamente \lvert x_n - a\rvert<\frac\varepsilon2 e \lvert y_n - b\rvert<\frac\varepsilon2. Daí, pela desigualdade triangular,
\bigl\lvert (x_n + y_n) - (a + b)\bigr\rvert = \bigl\lvert (x_n - a) + (y_n - b)\bigr\rvert \le \lvert x_n - a\rvert + \lvert y_n - b\rvert < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.
Isso prova que \lim(x_n + y_n)=a+b.

Passo 3

Prova para a diferença. O raciocínio é análogo. Seja \varepsilon>0. Usando os mesmos N_1,N_2 do passo anterior, para n\ge N=\max\{N_1,N_2\} vale
\bigl\lvert (x_n - y_n) - (a - b)\bigr\rvert = \bigl\lvert (x_n - a) - (y_n - b)\bigr\rvert \le \lvert x_n - a\rvert + \lvert y_n - b\rvert < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.
Logo \lim(x_n - y_n)=a-b.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty}\bigl(x_n \pm y_n\bigr)=a\pm b.

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