Mostre que lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}}=0.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a sequência a_n = \frac{1}{n^2} converge para 0 quando n\to\infty. O conteúdo aqui é limite de sequência usando a definição \varepsilon–N.
Passo 2
Pela definição de limite de sequência, devemos provar que, para todo \varepsilon>0, existe N\in\mathbb{N} tal que, sempre que n>N, temos
\left|\frac{1}{n^2}-0\right| < \varepsilon.
Passo 3
Observe que
\left|\frac{1}{n^2}-0\right| = \frac{1}{n^2}.
Queremos \frac{1}{n^2}<\varepsilon, o que equivale a
n^2 > \frac{1}{\varepsilon} \quad\Longleftrightarrow\quad n > \frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}.
Assim, basta escolher
N = \biggl\lceil \frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}\biggr\rceil.
Para esse N, sempre que n>N temos n>\tfrac1{\sqrt\varepsilon} e, portanto, \frac1{n^2}<\varepsilon.