Seja ( x_{n} ) uma sequência monótona não-decrescente. Prove que se ( x_{n} ) possuir uma subsequência limitada, então ela será limitada.

Passo 1

Vamos resumir o que o enunciado pede e o que temos à disposição.
O enunciado considera uma sequência (x_n) que é monótona não‐decrescente, ou seja, para todos os m<n vale
x_m \le x_n.
Além disso, sabe‐se que existe uma subsequência \bigl(x_{n_k}\bigr) que é limitada. Isso significa que existe um M>0 tal que, para todo k,
x_{n_k} \le M.
O que precisamos provar é que, então, a própria sequência (x_n) é limitada (isto é, existe uma constante L que serve de cota superior para todos os seus termos e uma cota inferior também).

Passo 2

Explorar a propriedade de monoticidade não‐decrescente para comparar qualquer termo x_m com algum termo da subsequência dominante. Como \{n_k\} é uma sequência estritamente crescente de índices e vai até o infinito, dado qualquer índice m existe algum k tal que
n_k \ge m.
Pela não‐decrescência, de m \le n_k segue
x_m \le x_{n_k}.

Passo 3

Usar o fato de que a subsequência é limitada por M. Do passo anterior temos
x_m \le x_{n_k}.
Mas como x_{n_k} \le M para todo k, obtemos
x_m \le M.
Isso vale para todo m. Logo M é uma cota superior da sequência (x_n).

Passo 4

Identificar uma cota inferior. Como (x_n) é monótona não‐decrescente, o menor termo ocorre em n=1. Assim,
x_n \ge x_1
para todo n. Logo x_1 é uma cota inferior.

Resposta

Concluímos que (x_n) admite cotas superior e inferior, logo é limitada.

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