Seja (
) uma sequência monótona não-decrescente. Prove que se (
) possuir uma subsequência limitada, então ela será limitada.
Passo 1
Vamos resumir o que o enunciado pede e o que temos à disposição.
O enunciado considera uma sequência que é monótona não‐decrescente, ou seja, para todos os
vale
O enunciado considera uma sequência
Além disso, sabe‐se que existe uma subsequência
que é limitada. Isso significa que existe um
tal que, para todo
,
O que precisamos provar é que, então, a própria sequência
é limitada (isto é, existe uma constante
que serve de cota superior para todos os seus termos e uma cota inferior também).
Passo 2
Explorar a propriedade de monoticidade não‐decrescente para comparar qualquer termo
com algum termo da subsequência dominante. Como
é uma sequência estritamente crescente de índices e vai até o infinito, dado qualquer índice
existe algum
tal que
Pela não‐decrescência, de
segue
Passo 3
Usar o fato de que a subsequência é limitada por
. Do passo anterior temos
Mas como
para todo
, obtemos
Isso vale para todo
. Logo
é uma cota superior da sequência
.
Passo 4
Identificar uma cota inferior. Como
é monótona não‐decrescente, o menor termo ocorre em
. Assim,
para todo
. Logo
é uma cota inferior.
Resposta
Concluímos que
admite cotas superior e inferior, logo é limitada.