Se \lim x_{n}=a e \lim y_{n}=b, prove as seguintes afirmações:
\lim \left(x_{n} y_{n}\right)=a b

Passo 1

O enunciado afirma que as sequências (x_n) e (y_n) convergem, isto é,
\lim_{n\to\infty}x_n = a \quad\text{e}\quad \lim_{n\to\infty}y_n = b.
Queremos mostrar que a sequência produto (x_n y_n) também converge e que
\lim_{n\to\infty}(x_n y_n)=ab.
Vamos usar a definição de limite de sequência (varepsilon– N) e a desigualdade triangular.

Passo 2

Como \lim_{n\to\infty}y_n = b, existe N_1\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N_1,
|y_n - b| < 1.
Daí, para n\ge N_1,
|y_n| = |(y_n - b) + b| \le |y_n - b| + |b| < 1 + |b|.

Passo 3

Seja arbitrário \varepsilon>0. Para cada n, decompomos
|x_n y_n - ab| = |\,x_n y_n - a y_n + a y_n - ab| \le |x_n - a|\;\bigl|y_n\bigr| \;+\; |a|\;|y_n - b|.
Usaremos o fato de |y_n|\le |b|+1 sempre que n\ge N_1.

Passo 4

Como \lim_{n\to\infty}x_n = a, existe N_2 tal que, para n\ge N_2,
|x_n - a| < \frac{\varepsilon}{2\,(|b|+1)}.
Como \lim_{n\to\infty}y_n = b, existe N_3 tal que, para n\ge N_3,
|y_n - b| < \frac{\varepsilon}{2\,|a|}\quad\text{(caso \(a=0\), basta garantir \(|y_n-b|<1\) e ajustar a constante).}
Defina
N = \max\{N_1,\,N_2,\,N_3\}.
Então, para todo n\ge N, temos simultaneamente |y_n|\le|b|+1, |x_n - a|<\varepsilon/(2(|b|+1)) e |y_n - b|<\varepsilon/(2|a|). Assim,
|x_n y_n - ab| \le |x_n - a|\,|y_n| + |a|\,|y_n - b| < \frac{\varepsilon}{2(|b|+1)}\,(|b|+1) + |a|\;\frac{\varepsilon}{2|a|} = \frac\varepsilon2 + \frac\varepsilon2 = \varepsilon.
Logo, pela definição de limite, \lim_{n\to\infty}(x_n y_n)=ab.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty}(x_n y_n)=ab.

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