Se
e
, prove as seguintes afirmações:
Passo 1
O enunciado afirma que as sequências
e
convergem, isto é,
Queremos mostrar que a sequência produto
também converge e que
Vamos usar a definição de limite de sequência (varepsilon–
) e a desigualdade triangular.
Passo 2
Como
, existe
tal que, para todo
,
Daí, para
,
Passo 3
Seja arbitrário
. Para cada
, decompomos
Usaremos o fato de
sempre que
.
Passo 4
Como
, existe
tal que, para
,
Como
, existe
tal que, para
,
Defina
Então, para todo
, temos simultaneamente
,
e
. Assim,
Logo, pela definição de limite,
.