lim x 8 raizraiz[3]x+4-raizraiz[3]x-2x-8.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos:
lim x 8 raizraiz[3]x+4-raizraiz[3]x-2x-8
Isso envolve conceitos de limites e funções contínuas. Vamos precisar entender como manipular raízes e frações para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir $ x = 8 $ diretamente na expressão para ver se conseguimos resolver:
x = 8
Então, substituindo na expressão:
raiz[3]8 = 2
Aqui, percebemos que estamos dividindo um número finito ($ \sqrt{6} $) por zero, o que sugere que o limite tende ao infinito.

Passo 3

Mas para ter certeza, vamos analisar o comportamento da função quando $ x $ se aproxima de 8, tanto pelo lado direito ($ x \to 8^+ x x \to 8^- $).
Quando $ x $ se aproxima de 8, $ x - 8 $ se aproxima de 0. O denominador está indo para 0. Vamos ver o sinal do denominador:
  • Se $ x > 8 $, $ x - 8 > 0 $.
  • Se $ x < 8 $, $ x - 8 < 0 $.
Agora, olhemos o numerador:
x to 8^+
Como $ \sqrt[3]{8} = 2 $, conforme $ x $ se aproxima de 8, $ \sqrt[3]{x} $ se aproxima de 2. Então:
x to 8^-
O numerador está se aproximando de $ \sqrt{6} $, um número positivo.

Passo 4

Agora, juntando as informações:
  • Quando $ x \to 8^+ $: $ x - 8 > 0 $, então a fração $ \frac{\sqrt{6}}{0^+} $ tende a $ +\infty $.
  • Quando $ x \to 8^- $: $ x - 8 < 0 $, então a fração $ \frac{\sqrt{6}}{0^-} $ tende a $ -\infty $.
No entanto, como o numerador é positivo e o denominador se aproxima de zero, o valor absoluto da fração cresce sem limite. Dependendo da direção de aproximação, pode tender a $ +\infty $ ou $ -\infty $, mas em ambos os casos, o limite não existe no sentido tradicional.

Resposta

O limite não existe porque tende a $ +\infty $ quando $ x $ se aproxima de 8 pela direita e a $ -\infty $ quando se aproxima pela esquerda.

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