lim x 0 x-raizxraizsen(x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular \ $\displaystyle \lim_{x\to0^+} \frac{x-\sqrt{x}}{\sqrt{\sin(x)}}\$, que envolve limite de expressões com raízes e funções trigonométricas. Vamos usar séries de Taylor e manipulações algébricas para resolver.

Passo 2

Observamos que a expressão só faz sentido para x>=0 perto de zero, então vamos considerar xto0^+. Reescrevemos o numerador destacando raizx:
x-raizx=raizxl(raizx-1r)

Passo 3

Para o denominador, usamos a expansão de Taylor de sin(x) em torno de zero:
sin(x)=x-x^36+O(x^5)
Então
raizsin(x)=raizx-x^36+O(x^5)=raizx,raiz1-x^26+O(x^4)=raizx(1-x^212+O(x^4))

Passo 4

Substituindo essas expressões no limite, temos:
x-raizxraizsin(x)=raizxl(raizx-1r)raizxl(1-x^212+O(x^4)r)=raizx-11-x^212+O(x^4)

Passo 5

Quando xto0^+, o numerador raizx-1to-1 e o denominador 1-tfracx^212+O(x^4)to1.

Resposta

-1

Exercícios relacionados