Passo 1
O enunciado pede para calcular \ $\displaystyle \lim_{x\to0^+} \frac{x-\sqrt{x}}{\sqrt{\sin(x)}}\$, que envolve limite de expressões com raízes e funções trigonométricas. Vamos usar séries de Taylor e manipulações algébricas para resolver.
Passo 2
Observamos que a expressão só faz sentido para
perto de zero, então vamos considerar
. Reescrevemos o numerador destacando
:
Passo 3
Para o denominador, usamos a expansão de Taylor de
em torno de zero:
Então
Passo 4
Substituindo essas expressões no limite, temos:
Passo 5
Quando
, o numerador
e o denominador
.
Resposta
-1